EUCLID

“Tidak ada jalan mulus mempelajari geometri” (“There is no royal road to geometry”) Euclid

Pemberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian

 

Euclid

(325 SM – 265 SM)

Riwayat Tidak lama setelah Pythagoras meninggal, lahirlah Euclid. Pada era ini matematika lebih dikenal sebagai sains dan kurang mistik seperti pada jaman Pythagoras. Theorema-theorema baru ditambahkan: kurva-kurva, lingkaran-lingkaran dan bentuk-bentuk lain dipelajari sama seperti garis lurus dan bidang–bidang datar. Tahun yang disebut di atas hanya prakiraan karena tidak adanya sumber yang layak dipercaya. Ada sumber yang menyebutkan Euclid hidup antara tahun 330 SM - 275 SM.

Lembaga yang menaungi pembelajaran saat itu adalah akademi Plato. Masa keemasan Yunani dan kebebasan berekspresi membuat pemikir-pemikir baru bermunculan. Didirikan di tahun 380 SM, lolos dari invasi-invasi yang datang silih berganti, hidup dalam suksesi banyak tiran dan menjadi saksi keruntuhan dua kebudayaan besar – Yunani dan Romawi – sebelum akhirnya ditutup pada abad keenam oleh kaisar Justinian.

Euclid diperkirakan belajar pada akademi Plato ini sebelum diangkat menjadi pengajar matematika di tempat yang sama. Ada cerita ketika Euclid masih mengajar di akademi ini, Alexander Agung menyatakan misinya untuk menaklukkan dunia. Yunani, bersama Mesir dan Mediteranian dan negara-negara di kepulauan Yunani ditaklukkan oleh angkatan perang Macedonian.  Pada tahun 332 SM, Alexander Agung menetapkan ibukota negara di Alexandria, Mesir dan sembilan tahun kemudian ia meninggal pada usia 33 tahun. Tahta diberikannya kepada jendral Ptolemy atau Claudius Ptolemaeus.

 

Universitas Ptolemy

Ptolemy  - orang terpelajar *, membangun bukan saja suatu dinasti, mencakup salah satu keturunannya yang sangat terkenal, Cleopatra, tetapi juga mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dan tinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu mentor Archimedes.

Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada Euclid apakah ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi. “Tidak ada jalan pintas mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambil menyuruh pangeran itu untuk kembali membaca buku geometri. Jawaban ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari Euclid.

Euclid meninggal namun universitas Ptolemy di Alexandria tetap berjalan. Salah satu murid terbesarnya – tanpa mengesampingkan teman sesama mahasiswa, adalah Archimedes. Banyak orang Yunani dari Syracuse yang menimba ilmu di universitas, dimana salah satu pengajarnya adalah Euclid.

 

Pribadi Euclid

Euclid dapat disebut sebagai matematikawan utama. Dia dikenal karena peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika abadi dan matematikawaan terbesar Yunani.

Pribadi Euclid digambarkan sebagai orang yang baik hati, jujur, sabar dan selalu siap membantu dan bekerjasama dengan orang lain. Banyak theorema-theorema yang dijabarkannya merupakan hasil karya pemikir-pemikir sebelumnya termasuk Thales, Hippokrates dan Pythagoras.

Banyak informasi salah tentang Euclid. Ada yang menyebutkan bahwa dia adalah anak Naucrates yang lahir di Tyre. Informasi lain menyebut bahwa Euclid lahir di Megara. Memang diketahui ada nama yang sama, Euclid dan lahir di Megara, tetapi hal itu terjadi 100 tahun sebelum kelahiran Euclid dan profesi Euclid dari Megara adalah filsuf. Euclid sendiri lahir di Alexandria. Kesalahan nama ini jamak terjadi karena pada masa itu banyak orang bernama Euclid.

 

Karya besar Euclid

The Elements dapat dikatakan karya fenomenal pada jaman itu. Terdiri dari 13 buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap  buku diawali dengan definisi, postulat (hanya untuk buku I), proposisi, theorema sebelum ditutup dengan pembuktian dengan menggunakan definisi dan postulat yang sudah disebutkan. Buku ini ke luar dari Yunani pada tahun 1482, diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Arab, serta menjadi buku teks geometri dan logika pada awal tahun 1700-an. Garis besar isi masing-masing buku.

Buku I              : Dasar-dasar geometri: teori segitiga, sejajar dan luas

Buku II             : Aljabar geometri

Buku III            : Teori-teori tentang lingkaran

Buku IV           :  Cara membuat garis dan gambar melengkung

Buku V                        : Teori tentang proporsi-proporsi abstrak

Buku VI           : Bentuk yang sama dan proporsi-proporsi dalam geometri

Buku VII          : Dasar-dasar teori bilangan

Buku VIII         : Proporsi-proporsi lanjutan dalam teori bilangan

Buku IX           : Teori bilangan

Buku X                        : Klasifikasi

Buku XI           : Geometri tiga dimensi

Buku XII          : Mengukur bentuk-bentuk

Buku XIII         : Bentuk-bentuk tri-matra (tiga dimensi)

Euclid mencetuskan 5 postulat yang kemudian menjadi pokok bahasan. Agar tidak terjadi salah interpretasi, maka untuk postulat kelima juga disajikan dalam bahasa Inggris. Hal ini disengaja, karena munculnya geometri non-Euclidian, yang dirintis oleh Gauss [dan diselesaikan oleh Janos Bolyai dan Lobachevsky, namun paling spektakuler digagas oleh Riemann], diawali dengan asumsi bahwa postulat kelima Euclid itu adalah salah.

1. Garis lurus dapat digambar dari (sembarang) titik sampai (sembarang) titik lainnya.
2. Ujung garis lurus dapat dilanjutkan terus sebagai garis lurus.
3. Lingkaran dapat digambar dari sembarang titik pusat dan dengan jari-jari berbeda.
4. Semua sudut-sudut di sisi kanan besarnya sama dengan sisi lainnya.
5. Apabila garis lurus terpotong menjadi dua garis lurus, menyudut di sisi dalam pada kedua garis pada sisi yang sama daripada dua sudut yang sejajar, jika diteruskan sampai ke (titik) tak terhingga, akan berpotongan pada sisi dimana sudutnya lebih kecil dibandingkan sudut yang terbentuk dari dua garis.

(If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side together less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which the angles are together less than two right lines)

Theorema-theorema yang terdapat pada Elements adalah kompilasi karya para matematikawan sebelumnya seperti: Pythagoras, Eudoxus, Menaechmus, Hippocrates, menampilkan pembuktian-pembuktian kuno dengan mengganti dengan pembuktian baru dan disederhanakan. Elements menjadi – dan abadi – buku teks baku dalam geometri. Saat mesin cetak ditemukan, buku Elements termasuk buku pertama yang dicetak.

Euclid mencoba memecahkan problem irrasional yang membuat Pythagoras putus-asa. Dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku dengan panjang kedua sisinya 1, maka sisi panjang segitiga adalah  x² = 2. Euclid membuat asumsi bahwa solusinya dapat ditemukan. Solusi versi Euclid hanya menyebutkan bahwa √2 adalah (bilangan) irrasional yang artinya bilangan tersebut tidak dapat dibuat nisbah (ratio), bukan karena bilangan tersebut “kurang waras.” Rasanya ketiga-belas buku dan “kandungan” lima postulat sulit dibantah. Ternyata ada ‘cacat’ pada postulat kelima.

 

Cacat pada postulat Euclid

Semua postulat membawa apa yang disebut dengan pembuktian diri (self-evidence). Postulat kelima dibuktikan oleh Euclid tanpa memberikan cara pembuktian. Upaya pertama untuk membuktikan postulat kesejajaran ini dilakukan oleh Girolamo Saccheri, pendeta Jesuit berkebangsaan Italia, yang  mendukung Euclid dengan menerbitkan buku berjudul Euclides ab omni naevo vindicatus (“Euclid bebas dari semua kesalahan”) pada tahun 1733. Buku tersebut tidak dapat menuntaskan kesalahan Euclid. Matematikawan terkemuka Jerman, Gauss, pertama kali menemukan kesalahan postulat kelima tetapi malu  mempublikasikannya (merasa belum tuntas), sehingga kehormatan diberikan kepada dua matematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara berbeda. Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky dari Rusia secara terpisah mampu membuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda pula.

Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuaian kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, elips yang merupakan jawaban bahwa alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian).

 

Tiga problem matematika klasik

Para matematikawan sejak dahulu berkutat dengan tiga problem yang tidak dapat dipecahkan pada masa itu. Memang ketiga problem itu menjadi mudah setelah ada “campur-tangan” para matematikawan modern yang terus menyempurnakan alat-alat matematika. Adapun ketiga problem ini adalah:

1. Persamaan pangkat tiga (kubik)

4x³ -  3x - a  = 0

           

a adalah angka tertentu. Saat itu Yunani tidak mengenal pangkat tiga (kubik). Dengan menggunakan penggaris dan kompas mereka hanya mampu menyelesaikan persamaan linier (pangkat 1) dan persamaan kuadrat (pangkat 2).

2.    Menggandakan kuadrat

2x³  = y³ atau x³   = 2.

Problem yang tidak dapat dipecahkan terjadi karena sebuah legenda. Bangsa Athena, menurut cerita, melakukan konsultasi dengan Oracle (tempat dibangun kuil dan tempat dewa bersabda) sebelum melakukan kampanye perang dan dijawab bahwa untuk mempertahankan kejayaan mereka harus menggandakan lebar altar pemujaan terhadap dewa Apollo (Anak Zeus yang dipercayai oleh ayahnya untuk menyingkapkan keputusan-keputusan ayahhandanya bagi umat manusia), yang berbentuk kubus. Mereka segera membuat altar dengan dua kali panjang, dua kali lebar dan dua kali tinggi dibanding altar aslinya.

Percaya bahwa mereka sudah memenuhi keinginan Oracle, mereka dengan penuh percaya diri menuju perang – dan kalah. Ternyata, mereka membuat altar delapan kali besarnya, bukan 2 kali. 

3. Menggambar lingkaran.

Karena tidak ada alat yang tersedia, pada saat itu, tidaklah dimungkinkan menggambar lingkaran bahkan dinyatakan dalam bentuk persamaan aljabar. Problem menyangkut menentukan besaran π (pi), nisbah antara lingkaran dan diameter. Kendala datang dari π yang merupakan bilangan irrasional sekaligus transendental (= bukan bilangan yang dapat diekspresikan dalam bentuk aljabar). Sulit ‘memahami alam tanpa kehadiran bilangan ini. Ada 2 bilangan transendental yang sangat terkenal: π dan ℮).

Ketiga problem klasik ini akan selalu membayangi kiprah para matematikawan. Tidak terkecuali Euclid, tanpa pernah dapat menyelesaikan. Matematikawan berikutnya akan selalu menghadapi dan berupaya memecahkan ketiga problem tersebut. Penyelesaian suatu problem berarti memperoleh nama baik sekaligus prestasi. Tidak jarang terjadi kecurangan, saling “curi” ide, penghianatan. Dan hal ini selalu terjadi di jaman dulu sampai jaman sekarang. Banyak contoh dapat dibaca pada riwayat-riwayat para matematikawan selanjutnya.

Euclid dan bilangan prima

Euclid, seperti matematikawan jaman sekarang, mempelajari bilangan prima, mencari untuk menentukan bilangan mana yang masuk kategori prima atau bukan. Euclid tidak pernah dapat menentukan bilangan prima, tetapi dia mampu memberikan jawaban tentang bilangan prima. Banyaknya bilangan prima itu adalah tidak terhingga.

Anak SD sekarang sudah terbiasa dengan bilangan prima. Dari angka 2 sampai dengan 50 terdapat 15 bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, 13, 7, 9, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) ; dari 50 sampai dengan 100 hanya 10 bilangan prima.

Euclid membuat pernyataan: jika bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti ada bilangan > n, di mana dapat dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 dan seterusnya sampai n, kemudian ditambah 1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbol matematika untuk mengekspresikan adalah n! + 1 (n faktorial ditambah 1).

Kondisi sekarang

Apabila dahulu Euclid dipuja, sekarang keadaan berbalik. Banyak pengikutnya mulai “menyerang” Euclid dengan menyebut dia terlalu arogan dan memaksakan suatu pembuktian yang dibuatnya selalu benar, misalnya: salah satu sisi segitiga tidak akan lebih panjang daripada jumlah kedua sisi lainnya. Matematikawan modern mengkritik Euclid dari sudut pandang lain, yaitu: Euclid tidak cermat dalam melakukan pembuktian. Terdapat beberapa kesalahan dan ide-ide yang tidak dapat dipertanggungjawabkan. Dan yang paling mencolok adalah postulat kelima yang juga lazim disebut dengan postulat kesejajaran.

Para matematikawan berikutnya tidak dapat menerima pernyataan-pernyataan (postulat) yang tidak dapat dibuktikan itu. Kemudian, muncul geometri non-Euclidian yang menggantikan postulat-postulat itu dengan pernyataan yang dapat diterima umum.

Masa tua Euclid

Euclid pindah untuk mengajar di Alexandria yang lebih kosmopolitas dan modern, namun semua itu tidak membuat Euclid gembira dibandingkan tinggal di kota-kota di Yunani yang makin lama makin sepi. Di sini dia melihat aplikasi matematika. Pompa air, air terjun buatan bahkan motor yang digerakkan oleh tenaga uap tidak memberi makna kehidupan bagi Euclid. Ia lebih suka matematika untuk dipelajari bukan untuk aplikasikan. Euclid meninggal di Alexandria.

* Seorang astronomer yang menghitung gerakan bumi, bulan dan matahari. Perhitungan ini kelak akan disempurnakan oleh Newton.