Fibonacci

Pedagang merangkap matematikawan

Fibonacci

(1170 – 1250)

Fibonacci

Masa kecil Signifikansi abad pertengahan bagi perkembangan matematika di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Bibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah konsul yang mewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan. Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair.

 

Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab, sistem yang mulai dikenal setelah masa Perang Salib. Kalkulasi tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab itu dan tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu ini membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.

Mengarang buku

Tahun 1202 Fibonacci menerbitkan buku ‘Liber Abaci’ dengan menggunakan – apa yang sekarang disebut dengan, aljabar, yaitu dengan menggunakan sistem bilangan (numeral) Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.

Pendahuluan buku berisikan dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeralatau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan para pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada masa itu peminjaman uang berbunga tinggi, masih dilarang). Penguasa saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan menjawab wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat. 

Problem kelinci

Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk sang Raja. Dalam buku itu dicantumkan problem yang mampu mengusik ‘akal sehat’ matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak  Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.

           

“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun? Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”

- Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.

- Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.

- Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.

- Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.

Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci.

Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075.

Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya?. Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci. 

Deret Fibonacci

Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam perdagangan membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci adalah angka nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian. Fibonacci memperkaya khazanah matematika dengan mengenalkan angka nol. Menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya.

Deret Fibbonacci yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …

Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret di atas mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, DNA, jumlah mata buah nanas, jumlah kelopak bunga matahari, tanduk domba.

Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada benda-benda di alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.

                       

Kaitan dengan nisbah emas

Nisbah emas sudak dikenal sejak jaman Pythagoras. Disebutkan bahwa alam tampaknya diatur oleh nisbah emas. “Kesaktian” nisbah ini mendasari arsitektur bangunan jaman dahulu, khususnya di Yunani. Bentangan pilar dan tinggi Panthenon merupakan perbandingan hasil nisbah emas.

Perhatikan hasil pembagian bilangan-bilangan pada deret Fibonacci di bawah ini.

1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21…

Pola apa yang terjadi? Bilangan hasil pembagian menunjukkan sesuatu yang istimewa sehingga disebut dengan seksi emas (golden section). Nama ini mirip dengan nisbah emas. Memang ada hubungan erat antara  seksi emas dan nisbah emas seperti dapat dilihat pada bagan di bawah ini.

Angka	1	2	3	5	8	13	21	34	55
Pembagi	1	1	2	3	5	8	13	21	34
Hasil	1	2	1,5	1,66	1,60	1,625	1,615	1,619	1,617

                       

Barangkali kenyataan ini mampu menjawab pertanyaan mengapa deret Fibonacci mendekati nisbah emas. Pembuktian tentang pernyataan ini dapat dilihat dalam boks di bawah.

Ambil contoh dua bilangan: a, b, a+b (deret Fibonacci) dan b/a (nisbah emas) kemudian diperbandingkan               b/a  ≈ (a+b)/b               b/a  (nisbah emas) ≈ a/b + 1 (seksi emas)       Substitusikan nisbah emas dengan notasi Φ (phi) untuk persamaan di atas.                           Φ = 1/ Φ + 1 (kalikan ruas kiri dan kanan dengan Φ) hasil:                Φ² - Φ – 1 = 0                             Φ =  (1+ √5)/2 ≈ 1,618

Revolusi Fibonacci

Topik dalam buku Liber Abaci“ juga menjelaskan proses aritmatik, termasuk cara mencari akar bilangan. Problem-problem dalam buku ini  lebih ditekankan untuk penggunaan dalam transaksi perdagangan, sistem pecahan untuk menghitung pertukaran mata uang. Fibonacci menggunakan pecahan – biasa, bilangan berbasis enam puluh (seksadesimal) dan satuan – bukan bilangan berbasis sepuluh (desimal). Penulisan 5/12 28 biasa kita kenal sebagai 28 5/12. Dia juga menempatkan bilangan pecahan berupa komponen-kompenen yang belum dijumlah. Penulisan 11 5/6, sebagai contoh, ditulis dengan 1/3 ½ 11. 

Tidak puas dengan kebingungan ini ternyata pecahan satuan lebih membingungkan lagi. Pecahan 98/100, sebagai contoh, dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 ¼ ½, dan 99/100 ditulis dengan 1/25 1/5 ¼ ½.

Masih belum jelas, terlebih notasi:

                        1  6  2 

                        2  9  10

 yang berarti:

                       1       +      6     +      2

                   2.9.10          9.10        10 

Barangkali sangatlah mengherankan, pedagang jaman dahulu sudah mampu mengoperasikan sistem bilangan sebegitu rumitnya. Penulisan pecahan di atas diadopsi dari sistem bilangan Byzantium.

* Jangan salah mengartikan denganNautilus yang menjadi nama kapal selam pada buku karangan Jules Verne berjudul “20.000 Leagues Under the Sea”