Al-Khwarizmi

Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi

(780 – 850)

Khwarizmi

Riwayat Di bawah pemerintahan tiga raja dari dinasti Abbasid – al Mansur, Harun al-Rashid dan al-Mamun, terjadi masa keemasan Irak. Istilah Arabian Nights tercetus pada masa pemerintahan Harun al-Rashid. Bahkan al-Mamun bermimpi dapat menghadirkan kembali pemikir kaliber Aristoteles di Bagdad. Ada dua ilmuwan yang “bertugas” mengalihbahasakan karya-karya ilmiah di Graha Kebijaksanaan (“The House of Wisdom”), di mana salah satunya adalah al-Khwarizmi. Buku karyanya mencetuskan kata aljabar dan membuatnya  menjadi bidang ilmu yang legendaris. Riwayat al-Khwarizmi tidaklah banyak   diketahui orang. Tidak banyak catatan dan asal-usulnya yang diketahui oleh orang kebanyakan, tak terkecuali ahli sejarah.

Nama al-Khwarizmi memberi indikasi bahwa dia berasal dari Khwarizm, daerah sebelah selatan laut Aral, Asia tengah. Ahli sejarah, al-Tabari memberi tambahan julukan “al-Qutrubbulli”, yang memberi indikasi bahwa al-Khwarizmi berasal dari Qutrubbull, yaitu daerah antara sungai Tigris dan sungai Eufrat yang letaknya tidak jauh dari Bagdad. 

 

Karya besar al-Khwarizmi

Sudah dapat dipastikan bahwa Al-Khwarizmi bekerja pada saat berkuasanya al-Mamun dan dia mempersembahkan dua karyanya untuk Kalifah tersebut. Karya besar di bidang aljabar dan karya besar di bidang astronomi. Hisab al-jabr w’al-muqabalaadalah karyanya di bidang aljabar yang sangat terkenal dan sangat penting. Pada judul karya itu termuat kata “aljabar” adalah istilah pertama yang kemudian dipakai sampai hari ini. Tujuan dan pesan yang ingin disampaikan oleh buku ini, seperti yang disebutkan dalam buku terjemahan Rosen,  adalah mencari cara termudah dan paling bermanfaat dari aritmatika.

 “Setiap hari orang berkutat dengan kasus-kasus yang menyangkut warisan, pembagian harta, kasus-kasus hukum, perdagangan, dan semua perjanjian yang terjadi antara pribadi misal: mengukur lahan, menggali sungai, menghitung luas bidang geometri tertentu dan bermacam-macam perhitungan lainnya.”

Kita semua jadi maklum bahwa isi teks aljabar ini dimaksudkan untuk kepentingan praktis dan aljabar diperkenalkan untuk menyelesaikan problem-problem yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari dalam lingkup kerajaan Islam pada jaman itu. Pengantar buku ini memberi gambaran tentang bilangan-bilangan asli (natural numbers), dimana bagi mereka yang tidak fasih tampaknya sistem ini menggelikan, namun inti penting yang ingin disampaikan adalah pemahaman baru tentang abstraksi seperti dinyatakan dalam kalimat di bawah ini.

Ketika orang mulai melakukan penghitungan mereka selalu menggunakan angka. Angka terdiri dari satuan-satuan, dan setiap angka dapat dibagi menjadi satuan-satuan. Setiap angka diekspresikan dengan satu sampai sepuluh, setelah sepuluh digandakan, dikalikan tiga sehingga terdapat dua puluh, tiga puluh dan seterusnya hingga seratus. Seratus digandakan, dikalikan tiga dengan cara yang sama sampai akhirnya sampai pada kesimpulan bahwa bilangan itu tak terbatas. 

Aksioma

Karya Aljabardari al-Khwarizmi diawali dengan pengertian prinsip-prinsip bilangan dan memberikan solusi. Buku terdiri dari enam bab yang terbagi menjadi enam tipe persamaan yang mencakup tiga jenis operasi: akar, kuadrat dan bilangan (x, x² dan bilangan).

Semua solusi atau  penyelesaian [penyederhanaan] suatu bentuk persamaan (linier atau kuadrat), terlebih dahulu harus dijadikan salah satu dari 6 bentuk baku seperti di bawah ini.

1.    Kuadrat-kuadrat identik dengan akar-akar

2.    Kuadrat-kuadrat identik dengan bilangan-bilangan

3.    Akar-akar identik dengan bilangan-bilangan

4.    Kuadrat-kuadrat dan akar-akan identik dengan bilangan-bilangan (misal: x² + 10x = 39)

5.    Kuadrat-kuadrat dan bilangan-bilangan identik dengan akar-akar (misal: x² + 21 = 10x)

6.    Akar-akar dan bilangan-bilangan identik dengan kuadrat-kuadrat (misal: 3x + 4 = x²).

Penyederhanaan ini menggunakan dua operasi/cara yang disebut dengan al-jabr dan al-muqabala. Istilah “al-jabr” berarti “menyelesaikan” yaitu proses menghilangkan bentuk negatif/minus dari suatu persamaan. Salah satu contoh yang dikemukakan oleh al-Khwarizmi, “al-jabr” berarti mengubah x² = 40x – 4x² menjadi 5x² = 40x. Istilah “al-muqabala” berarti “menyeimbangkan” yaitu proses mengelompokkan jenis/notasi yang sama, pangkat yang sama apabila terdapat pada ruas kanan maupun ruas kiri dalam suatu persamaan. Contoh, dua aplikasi al-muqabalaadalah menyederhanakan 50 + 3x + x² = 29 + 10 x menjadi 21 + x² = 7x (aplikasi pertama terkait dengan bilangan-bilangan dan aplikasi kedua terkait dengan akar)

Aplikasi aksioma

Al-Khwarizmi juga menunjukkan bagaimana menggunakan keenam persamaan di atas untuk menggabungkan solusi metode aljabar dan metode geometri. Sebagai contoh untuk memecahkan persamaan x² + 10x = 39, dia menuliskan prosedur:

… Suatu akar kuadrat ditambah 10 sama dengan 39 unit, yang dapat dituliskan ke dalam bentuk persamaan: apa yang akan terjadi apabila suatu kuadrat ditambah 10 akan diperoleh 39?. Cara untuk mengurai persamaan ini diambil dari salah satu aksioma di atas. Sumber problem adalah angka 10.

Ambil angka 5, dan kuadratkan diperoleh 25, ditambah dengan 39 diperoleh 64. Akar dari angka ini adalah 8, kurangilah dengan angka awal, 5, diperoleh sisa 3. Angka 3 adalah hasil akar, jika dikuadratkan diperoleh 9. Luas bujur sangkar adalah 9.

Pembuktian geometrik dapat dilakukan dengan cara di bawah ini. Al-Khwarizmi mengawali dengan mengandaikan sisi bujur sangkar adalah x dan luas bujur sangkar adalah x² (gambar 1). Bujur sangkar itu kita tambah dengan 10x yang dilakukan dengan menambahkan secara sama terhadap keempat sisinya, dimana masing-masing 10/4 atau 5/2 dengan lebar x pada setiap sisinya (gambar 2). Bidang warna gelap (Gambar 3) memunyai luas x² + 10x, dimana sama dengan 39. Kita melengkapi agar bentuk bujur sangkar menjadi lengkap dengan 4 bujur sangkar kecil yang luasnya sama, masing-masing 5/2 × 5/2 = 25/4. Luas bujur sangkar (gambar 3) adalah 4 × 25/4 + 39 = 25 + 39 = 64. Panjang sisi bujur sangkar adalah akar 64 atau sama dengan 8. Apabila sisi bujur sangar adalah 8, dimana 5/2 + x + 5/2 atau x + 5 = 8, diperoleh x = 3.

                                                                        x

X²

                                                                  Gambar 1

	5x/2
5x/2	X²	5x/2
	5x/2

                                                                  Gambar 2

                         

25  4		25  4
	39
25  4		25  4

                                                                  Gambar 3   

                                                              

 

Kaitan dengan Euclid?

Pembuktian geometrik di atas menjadi sumber polemik diantara para matematikawan. Rupanya al-Khwarizmi memahami Elements dari Euclid, karena secara tidak langsung penyelesaian itu mirip dengan yang termaktub dalam buku karya Euclid itu. Dalam masa pemerintahan Harun al-Rashid, ketika Khwarizmi masih muda, al-Hajjaj ditugaskan mengalihbahasakan Elements  Euclid ke dalam bahasa Arab. Al-Hajjaj tidak lain adalah rekan al-Khwarizmi di Graha Kebijaksanaan. Itu adalah pendapat bagi yang melihat bahwa karya al-Khwarizmi adalah penjabaran dari Euclid. Pendapat lain menyebut bahwa tidak ada definisi, aksioma, postulat atau contoh-contoh seperti yang diuraikan oleh Euclid sehingga tidak dapat menggolongkan al-Khwarizmi sebagai pengikut Euclid. Pendukung pendapat kedua mengemukakan hukum aritmatika dengan obyek-obyek aljabar. Sebagai contoh, Khawarizmi menunjukkan bagaimana melakukan perkalian untuk ekspresi seperti:

                       

            (a + bx) (c+dx)

Meskipun tidak ada narasi untuk mengekspresikannya dan tidak ada simbol yang digunakan, namun di sini tersirat konsep aljabar dengan akurasi tinggi: teori linier dan kuadratik dengan satu bilangan tidak diketahui. Dari sini aljabar dapat dipandang sebagai teori persamaan. Lebih lanjut al-Khwarizmi memberikan penerapan dan contoh seperti mencari luas bidang  lingkaran, silinder, kerucut dan piramida.

Al-Khwarizmi juga menulis sistem bilangan Hindu-Arabik. Karya ini menggambarkan Hindu memunyai sistem bilangan berbasis 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9 dan 0. Pertama kali menggunakan angka nol dirintis olehnya.

Karya-karya lainnya

Karya al-Kwarizmi lainnya adalah dalam bidang astronomi. Topik utama yang disajikan dalam buku “Sindhind zij” adalah kalender; menghitung posisi matahari, bulan dan planet-planet; tabel sinus dan tangen; tabel astrologi; memprakirakan terjadinya gerhana. Karya lain adalah di bidang geologi yang memberi garis lintang dan garis bujur untuk 2402 tempat-tempat berdasarkan peta dunia. Buku ini mirip buku Ptolemy Geography yang mencatat juga kota, gunung, lautan, pulau dan sungai. Manuskrip al-Khwarizmi lebih rinci untuk wilayah Islam, Afrika dan Timur Jauh sedangkan untuk benua Eropa mengambil dari buku Ptolemy.

Selain itu al-Khwarizmi juga menulis topik-topik seperti penggunaan astrolabe (pengukur lintasan planet sebelum ditemukan sextant) untuk mengetahui lintasan matahari dan kalender Yahudi.