Bonaventura Cavalieri

Bonaventura Cavalieri

(1598 - 1647)

 

Cavalieri

Masa kecil Cavalieri bergabung dalam order Jesuati di Milan pada tahun 1615, ketika dia masih remaja. Setahun kemudian, 1616, dipindahkan ke biara di Pisa. Awal ketertarikan terhadap matematika dipicu oleh karya Euclid dan setelah bertemu muka dengan Galileo, sebelum akhirnya menjadi murid astronom terkenal itu. Di Pisa, Cavalieri belajar matematika dari Benedetto Castelli, dosen di universitas Pisa. Posisi Castelli diincarnya, namun karena masih terlalu muda dan universitas masih menganut sistem senioritas, maka Cavalieri gagal menduduki posisi Castelli. Kegagalan ini membuat Cavalieri pindah ke Roma.

Pertemuan dengan Galileo sebenarnya dirancang oleh Kardinal Federico Borromeo yang mengetahui bakat Cavalieri sejak di Milan. Gagal di Pisa dan Roma, Cavalieri pulang ke Milan dan menjadi asisten kardinal Federico Borromeo pada tahun 1621. Mengajar theologi sampai tahun 1623, sebelum menjadi pastor kepala di St. Peter Lodi. Tiga tahun di Lodi, pergi ke biara di Parma dan tinggal di sana selama tiga tahun. 

Tahun 1629, Cavalieri diangkat menjadi profesor matematika di Bologna, dimana pada saat itu dia mengembangkan metode tidak-dapat-dibagi (indivisible) yang kelak akan menjadi faktor utama dalam pengembangan integral kalkulus.

Murid Galileo

Cavalieri adalah salah seorang murid Galileo. Galileo pernah bermaksud menulis tentang ketakterhinggaan (infinite) dalam matematika akan tetapi hasilnya tidak pernah ditemukan. Cavalieri yang juga terpicu oleh karya Kepler Stereometria, ditambah pemahamannya tentang matematika klasik dan semangat Galileo, dia mulai merangkum pemikirannya tentang ketakterhinggaan ke dalam bentuk buku. Ketika di Bologna, dia mulai menulis berbagai aspek tentang matematika – murni maupun terapan – mencakup: geometri, trigonometri, astronomi dan optik. Cavalieri adalah penulis Italia pertama yang membahas tentang logaritma. Dalam buku berjudul Directorium Universale Uranometricum (1632) tercantum tabel sinus, cosinus dan tangen beserta bentuk kebalikannya (invers) yaitu: cosecan, secan dan cotangen bersama tabel logaritma delapan desimal. Akan tetapi karya puncak Cavalieri adalah Geometria Indivisibilibus Continuorum(1635).

Cavalieri juga menulis tentang kerucut, trigonometri, optik, astronomi dan astrologi. Dalam optik, Cavalieri mengembangkan hukum umum tentang jarak fokus lensa dan menguraikan refleksi cahaya pada teleskop. Sebuah buku, terbit tahun 1639, adalah karya terakhir Cavalieri, Trattato Della Ruota Planetaria Perpetua, adalah bahasan tentang astrologi. Dalam peninggalannya terdapat surat-menyurat dengan matematikawan seperti: Galileo, Mersenne, Renieri, Rocca, Torricelli dan Viviani. Salah seorang muridnya – paling terkenal – saat mengajar di Bologna adalah Stefano de Angeli, yang diajar oleh saat Cavalieri sudah tua dan menderita arthitis.

 

Theorema Cavalieri

Prinsip umum yang menyatakan bahwa suatu persamaan mengandung infinitisimal pangkat besar tidak dapat dipakai karena tidak mempengaruhi hasil akhir adalah blunder Cavalieri yang terdapat dalam Geometria. Diketahui bahwa pengarangnya dipengaruhi oleh karya Galileo; yang secara khusus mempengaruhi matematikawan Perancis, namun Cavalieri mengambil jalan berseberangan. Metodenya tidak memakai proses terus mendekati, maupun mengabaikannya. Baginya tetap digunakan sebagai pasangan dua konfigurasi. Tidak ada yang diabaikan, apapun itu. Pernyataan ini kemudian disebut dengan “Theorema Cavalieri”:

Apabila dua bidang memunyai tinggi yang sama, dan apabila bagian-bagian yang terpotong oleh bidang-bidang sejajar/paralel terhadap alas dan jarak-jarak yang sama besarnya selalu terdapat nisbah (ratio), begitu pula isi dari kedua bidang tersebut sama dengan nisbah tersebut.

Metode ini sudah dibuat Cavalieri pada tahun 1626, dan tahun yang sama dia menulis surat kepada Galileo perihal subyek ini. Akan tetapi karena Galileo bermaksud menulis buku tentang ketakterhinggaan (infinite), Cavalieri menunda penerbitan, menunggu Galileo. Pada kenyataannya, buku Galileo lebih banyak memunyai nuansa filsafat dan spekulatif serta memberi penekanan pada ketakterhinggaan makin besar dan ketakterhinggaan makin kecil, pokok yang dihindari oleh Cavalieri. Pusat perhatian Cavalieri adalah pernyataan dalam kalkulus

              _a              

          ₀∫ xⁿ dx = (aⁿ‾¹) / (n + 1)

         

Cara pembuktian yang dilakukan oleh Cavalieri sangatlah berbeda dengan apa yang dikenal sekarang. Integral di atas memberi petunjuk terjadi spiral (r = a_oyang bersinggungan – pada satu titik – dengan parabola x² = ay tidak pernah diketahui sampai hal ini dikemukakan oleh Cavalieri dengan melakukan  pembandingan antara pembagian garis lurus yang tidak dapat dibagi (indivisible) dengan kurvalinear yang tidak dapat dibagi pula. Titik pada parabola Apollonian x² = ay kemudian akan dipotongkan dengan dengan spiral Archimedian r = a₀.