Pierre de Fermat

Pengacara dengan pekerjaan sampingan matematikawan

Pierre de Fermat

(1601– 1665)

Fermat

Masa kecil Ayah Pierre de Fermat, Dominique Fermat, adalah seorang pedagang kulit yang sangat kaya raya selain menjabat  sebagai konsul kedua (daerah) Beaumont-de-Lomagne. Ibu Pierre bernama Claire de Long, berasal dari keluarga bangsawan yang menjadi anggota juri Parlemen. Pierre Fermat memunyai seorang saudara laki dan dua saudara perempuan. Fermat dan semua saudara dan saudarinya dibesarkan di sebuah desa kecil. Mereka semua menuntut ilmu di biara Franciscan di desa yang sama. Setelah remaja, Fermat diterima di universitas Toulouse dengan jalur minat hukum karena ingin menjadi hakim.

 

Tidak lama kemudian, pada pertengahan tahun 1620-an, pindah ke Bordeaux. Di universitas Bordeaux inilah, meskipun mengambil jurusan hukum, Fermat mulai melakukan penelitian serius tentang matematika. Fermat kuliah kembali dengan mengambil jurusan hukum di universitas Orleans. Lulus sebagai Sarjana Hukum dan membeli kantor yang letaknya berdekatan dengan gedung parlemen Toulouse. Tahun 1631, Fermat menjadi pengacara dan mengabdi kepada pemerintah Toulouse sebelum dia mulai menyandang nama terhormat Pierre de Fermat.

“Place Loci” dari Apollonius

Fermat terlibat dengan “olah raga” paling prestise dan paling menantang pada masa itu: memburu dan melakukan restorasi barang-barang peninggalan kuno [seperti Indiana Jones, barangkali]. Dengan dasar bahan-bahan yang diperoleh,  Fermat merekonstruksi Plane Loci dari Apollonius dan meng-update “Koleksi Matematika” [Mathematical Collection] dari Pappus dari Alexandria [tahun 320].

Pada tahun 1629, Fermat memberikan salinan karya Apollonius yang selamat, Plane Loci,kepada salah seorang matematikawan di sana. Tidak lama kemudian, Fermat mencetuskan karya tentang maksima, minima dan problem tangen, di mana karya itu kemudian diberikan kepada Etienne d’Espagnet yang memunyai minat sama terhadap matematika guna dipelajari.

Hasil sampingan dari upaya Fermat ini adalah suatu penemuan. Pada tahun 1636, Fermat mencetuskan prinsip dasar analitik geometri:

Apabila diketahui persamaan dengan dua peubah (variabel) yang tidak diketahui dan dapat dihitung, akan didapat locus, yang secara gamblang menunjukkan suatu garis, lurus atau lengkung.

Pernyataan di atas, ditulis setahun sebelum Descartes menerbitkan Geometry, tampaknya merupakan pengembangan dari aplikasi Fermat terhadap analisis Viete  guna mempelajari loci dari Apollonius. 

 

Masyarakat Ilmiah Perancis

Meski tinggal di Toulose namun dia bekerja di desa kelahirannya, Beaumont-de-Lomagne yang letaknya berdekatan dengan kota Castres. Sejak 1631, Fermat diangkat menjadi anggota majelis rendah dan pada tahun 1638 Fermat ditunjuk sebagai anggota majelis tinggi. Akhirnya, tahun 1652, Fermat dipromosikan sebagai hakim tinggi kriminal. Karir Fermat yang meroket ini tidak lepas adanya senioritas dan epidemi yang melanda Eropa pada awal 1650-an membuat banyak orang tua meninggal. Bahkan Fermat sendiri pada tahun 1653 diberitakan meninggal karena epidemi.

Fermat berteman dengan Beaugrand. Hubungan dengannya selalu dipertahankan lewat surat-menyurat meski dia tinggal di Toulouse. Di tempat baru ini, Fermat bahkan mendapat teman baru yang memunyai minat besar terhadap matematika, Carcavi. Keduanya berteman dalam kaitannya dengan profesi karena keduanya adalah anggota majelis Toulouse dan keduanya juga menyukai matematika. Fermat bercerita kepada Carcavi tentang penemuan-penemuan matematikanya. Tahun 1636, Carcavi memunyai kesempatan, pada saat kunjungannya ke Paris dalam kapasitasnya sebagai pustakawan raja, bertemu dengan kelompok Mersenne. Mersenne tertarik ketika Carcavi menceritakan penemuan-penemuan Fermat dan berkirim surat kepada Fermat. Fermat membalas surat itu pada tahun 1636 dengan memberitahu Mersenne tentang kesalahan yang mungkin dibuat oleh Galileo tentang benda jatuh bebas. Pada kesempatan itu pula, Fermat bercerita tentang karyanya tentang Spiral dan melestarikan Plane Loci karya Apollonius. Karya Spiral dipicu oleh kenyataan bahwa suatu benda yang jatuh memunyai lintasan berbentuk spiral dan merupakan pengejawantahan karya Archimedes, On Spirals, yaitu cara untuk menghitung luas bidang di bawah spiral.

Koneksi Perancis

Sangatlah ironis bahwa kontak Fermat dengan komunitas sains diawali oleh studi tentang benda jatuh bebas, sedangkan Fermat sendiri kurang tertarik dengan aplikasi matematika pada fisika. Lepas dari semua itu pembuktian theorema geometri adalah yang terpenting. Surat Fermat kepada Mersenne untuk disebarkan kepada para matematikawan Paris sangatlah menantang. Fermat menantang matematikawan untuk menemukan solusi atau penyelesaian, dimana dia sudah memunyai jawabannya.

Reputasi Fermat sebagai seorang matematikawan kelas dunia cepat tersebar namun upaya untuk mempublikasikan karyanya tidak pernah kesampaian karena Fermat tidak ingin mengformalkan karya-karyanya.

Surat-menyurat Fermat dengan matematikawan tidak selamanya berjalan mulus. Frenicle de Bessy merasa sakit hati dengan problem-problem Fermat yang disebutnya tidak mungkin dapat dijawab. De Bessy membalas surat Fermat dengan nada marah namun Fermat membalas dengan rincian jawaban dan dia merasa Fermat menghinanya. Tahun 1654, Fermat kembali melakukan surat menyurat dengan komunitas sains kota Paris setelah ada surat dari Blaise Pascal yang memohon konfirmasi padanya tentang [ide] probabilitas. Blaise Pascal mengetahui alamat Fermat dari ayahnya yang 3 tahun sebelumnya meninggal.

 

Perselisihan dengan Descartes

Perselisihan juga terjadi antara Fermat dan Descartes. Karya Descartes, La Dioptrique,yang dikirim lewat Beaugrand kepada Fermat tidak dibalas oleh Fermat karena saat itu Fermat lebih tertarik melakukan korespondensi dengan Roberval dan Etienne Pascal tentang metode integrasi guna menentukan pusat gravitasi suatu benda.

Tidak ada tanggapan dari Fermat membuat Descartes marah. Karya maksima, minima dan tangen dari Fermat seakan mengecilkan karyanya. Selama ini Descartes selalu menyerang metode dan ide Fermat tersebut, sehingga akhirnya melibatkan Roberval dan Etienne ke dalam polemik. Polemik ini didinginkan oleh Desargues, meski akhirnya Descartes harus mengakui kekalahannya, setelah Fermat memberikan bukti tentang validitas metode tersebut.

Suatu saat Descartes mencoba mencoreng wajah Fermat. Dia mengirim surat kepada Fermat untuk membantunya menentukan tangen dan balasan surat itu dikirim ke Mersenne dengan komentar bahwa jawaban itu salah sambil mengeluarkan pernyataan bahwa Fermat bukan matematikawan dan pemikir.

Minima, maksima dan tangen

Gambar di atas tampak seperti bukit dan lembah. Yang membedakan hanyalah gambar tersebut terletak dalam sistem kuadran dari Descartes. Perhatikan bahwa garis lengkung itu memunyai maksima (titik tertinggi) dan minima (titik terendah). Disebut tertinggi dan terendah karena dibandingkan dengan titik-titik yang terletak disebelahnya. Sekarang, amatilah tangen masing-masing titik maksima dan minima yang terletak pada sumbu t yang sejajar dengan sumbu x.

Arah tangen pada titik ekstrim (maksima dan minima) dari f(t) adalah titik nol. Apabila kita mencari titik ekstrim dari fungsi, f(t), maka kita dapat menyelesaikan problem arah (slope) untuk kurva y=f(t), dan tentukan bahwa arah untuk titik t, y sama dengan 0, bila arah itu diekspresikan dengan notasi aljabar. Hal ini sangat penting guna menemukan nilai t yang sesuai dengan titik ekstrim. Metode penemuan Fermat pada tahun 1628 - 1629, tidak pernah dipublikasikan sampai sekitar satu dekade lamanya. Penemuan ini baru diketahui karena karya tersebut dikirim ke Descartes lewat perantaraan Mersenne.

Evolusi kalkulus dimulai dengan menggambar garis lurus dengan besar tangen tertentu, tidak terputus dan membentuk lengkungan pada titik-titik tertentu. Tidak terputus berarti lengkungan mulus (smooth), tanpa terputus atau ada loncatan drastis.

Pencetus kalkulus mendasarkan diri pada intuisi geometrik dan fisik (seringkali kinematikal dan dinamikal) untuk memahaminya: mereka melihat – lewat imajinasi – suatu kurva yang tidak berujung.

Sekilas tentang Kalkulus Fermat

Prestasi Fermat dalam kalkulus tidak dapat diragukan lagi seperti yang dinyatakan oleh Laplace, “Fermat adalah penemu sebenarnya diferensial kalkulus.” Fermat sudah memberikan – dengan notasi modern, bentuk y = xⁿ yang lazim disebut parabola Fermat, tidak perduli apakah n negatif atau n positif. Lewat analitik geometri pada bentuk ruang, Fermat terus maju dengan bentuk polinomial y=f(x) yang disebutkan bahwa ini adalah metode singkat untuk menemukan nilai maksima maupun nilai minima. Dengan melakukan perbandingan nilai x dari f(x) pada suatu titik dengan nilai x+E dari nilai f(x+E) pada titik yang berbeda. Akan diperoleh hasil berbeda, akan tetapi titik atas atau titik bawah dari kurva mulus (smooth) tersebut dapat diketahui. Jadi untuk menentukan titik maksima dan titik minima, Fermat menyamakan f(x) dengan f(x+E), nilai yang diperoleh tidak mungkin sama, namun identik. Makin kecil interval E terhadap dua titik, makin mendekati persamaan yang benar. Untuk itu Fermat membagi dengan E, dimana E mendekati  = 0. Proses di atas disebut dengan differensiasi yang dapat ditulis notasi:

                                    lim        f(x+E) – f(x)  

                                    E→0            E

Sampai di sini Fermat tidak dapat lagi menjelaskan prosedur dengan memuaskan. Dengan dasar ini kemudian Descartes menyerang, saat laporan tersebut dikirim kepadanya via Mersenne pada tahun 1638, dengan menyatakan bahwa cara itu tidak sahih. Descartes membalas  dengan memberi soal kepada Fermat: x³ + y³ = 3axy. Soal ini tidak dapat diselesaikan Fermat karena saat itu yang dikenal barulah kuadran 1, sebelum menjadi 4 kuadran.

Tidak puas dengan itu, Fermat pada tahun 1629, mencetuskan theorema untuk menghitung luas bidang kurva – theorema yang diterbitkan oleh Cavalieri pada tahun 1635 dan 1647, dengan mengembangkan theorema tersebut untuk menghitung luas bidang. Fermat menggunakan rumus yang merupakan penjumlahan integer berpangkat yang disebut dengan integrasi Fermat.   

TTF / Theorema Terakhir Fermat (Fermat Last Theorem)

Berbicara tentang Fermat tidaklah lengkap tanpa menyinggung Theorema Terakhir Fermat (TTF). TTF itu mengundang penasaran para matematikawan sampai berabad-abad lamanya. Theorema itu sederhana seperti yang dinyatakan oleh persamaan di bawah ini.

            xⁿ + yⁿ = zⁿ  

     x, y dan z adalah integer dan tidak boleh angka nol dan n > 2

Seperti biasa dalam surat-menyurat, Fermat selalu mengemukakan problem-problem sebelum akhirnya dia memberikan jawaban atau penyelesaiannya. Apakah Fermat sudah memunyai jawaban atau penyelesaian persamaan di atas.

Memang ada tulisan Fermat, yang termaktub dalam ArithmeticaDiophantus terjemahkan Bachet.

“Saya sudah menemukan pembuktian hebat dimana tempat ini terlalu kecil untuk menampungnya”

(I have discovered a truly remarkable proof which this margin is too small to contain)

Catatan kecil di atas baru diketahui umum setelah anak Fermat, Samuel, menerbitkan edisi terjemahan Bachet atas ArithmeticaDiophantus yang mencantumkan catatan kecil ayahnya pada tahun 1670. Apakah Fermat sudah memunyai jawabannya? Ataukah jawaban itu hanya ada di dalam otaknya sehingga menjadi kurang relevan. Jawaban atas pertanyaan di atas adalah barangkali tidak. Meski hal itu tidak pasti dan kita tidak akan pernah tahu. Fermat menulis theorema itu 28 tahun sebelum dia meninggal. Mungkin dia sendiri tidak mengetahui jawabannya atau tidak tahu cara membuktikannya.

Membuktikan theorema tersebut membutuhkan “alat-alat” matematika yang belum dikenal oleh Fermat pada masa itu. Andrew Wiles pun memerlukan praduga (conjecture) Shimura-Taniyama – kunci utama, dan banyak karya para matematikawan lain. Sumbangsih semua matematikawan, kemudian dirangkai, baru kemudian dapat diperoleh solusi untuk melakukan pembuktian. Tanpa karya Ernst Kummer tentang teori ideal (theory of ideals) dan dilanjutkan oleh Barry Mazur. Tanpa karya Mazur tidak mungkin ada praduga dari [Gerhard] Frey dan tanpa praduga prima dan sistesis dari [Jean-Pierre] Serre tidaklah memungkinan keberadaan praduga [Kenneth] Ribet dan praduga Taniyama-Shimura yang sangat penting perannya dalam pembuktian TTF.

Pembuktian TTF *

Andrew Wiles, Mei 1993, masih gamang dengan TTF. Tampaknya persamaan itu adalah kurva-kurva elips tetapi tidak memunyai kemiripan. Dia tidak dapat membuktikan bahwa bentuk-bentuk itu adalah modular. Bulan depan, Juni 1993, ada konferensi di Cambridge dengan pokok bahasan teori bilangan. Saat itu adalah saat yang paling tepat untuk mengungkapkan pembuktian TTF. Cambridge adalah bekas tempat tinggal dan tempat dia lulus. Berbekal 200 halaman berkas pembuktian, dia berangkat ke Inggris. Salinan itu juga dikirim ke pakar-pakar teori bilangan yang dengan serta-merta menyatakan bahwa pembuktian itu benar.

Salah seorang matematikawan, yang menerima berkas tersebut adalah rekan, sesama dosen, di Princeton, Nick Katz. Selama 2 bulan setiap hari, Katz berkutat dengan berkas tersebut sambil terus berkonsultasi dengannya, sebelum akhirnya menemukan kesalahan dalam pembuktian tersebut. Penemuan kesalahan ini sama dengan cercaan datang dari seluruh dunia.

Marah, frustrasi, merasa malu dan terhina tercampur dalam diri Wiles. Janji pembuktian TTF tidak dapat dipenuhi. Tujuh tahun bekerja sendiri dengan segala hambatan, tapi akhirnya justru pengalaman buruk yang didapat. Dia kembali menekuni praduga Taniyama-Shimura guna melakukan pembuktian ulang. Baru pada bulan September 1994, pagi hari saat dia ingin memeriksa kembali berkas pembuktian itu, pikirannya terusik dengan pertanyaan, “Apa yang membuat salah?”. Konsentrasi sekitar 20 menit mampu membuat Wiles melihat kesalahan yang dilakukannya selama ini. Pembuktian TTF yang benar - sekali lagi, disebarkan lewat email ke seluruh dunia.

Pengabdian Fermat

Umur 30 tahun, Fermat menikah dengan Claise de Long, tidak lain adalah saudari sepupu ibunya, di mana perkawinannya ini memberinya 2 anak perempuan dan 3 anak laki. Hampir semua karya  Fermat yang tidak diterbitkan semasa hidupnya, tapi setelah meninggalnya salah seorang anaknya Clement Samuel menerbitkan dan karirnya meneruskan jejak sang ayah. Karya besarnya, Pengantar Tentang Bentuk [Introduction to Loci] tidak diterbitkan semasa hidupnya; akibatnya geometri ini dianggap ditemukan oleh Descartes.

Tahun 1643 – 1654, Fermat tidak menyentuh matematika maupun melakukan surat menyurat dengan rekan-rekan sains di Paris. Banyak pekerjaan adalah alasan pertama sehingga tidak ada waktu lagi mengotak-atik matematika. Alasan kedua adalah terjadi perang sipil di Perancis dan Toulouse terkena dampaknya. Ketika epidemi melanda Eropa pada tahun 1651 menyebabkan banyak orang meninggal, Fermat sedang menekuni teori bilangan. Tahun 1656, Fermat melakukan surat menyurat dengan Huygens, matematikawan Belanda, guna membicarakan teori bilangan. Puncaknya Fermat mengirim naskah Penemuan-penemuan baru dalam bilangan-bilangan ilmiah [New Account of Discoveries in the Science of Numbers] kepada Huygens lewat Carcavi.

Sebagai anggota parlemen kota Toulouse dan menjadi penasihat raja terus dipegang Fermat selama 17 tahun sampai dia meninggal. Memperhatikan pengabdian Fermat kepada raja, banyak sejarawan bingung dengan waktu, energi dan mental Fermat untuk mengerjakan matematika. Ataukah karena Fermat mendelegasikan semua pekerjaannya, sehingga banyak waktu luang untuk mengerjakan “hobi” matematika.

* Sebelum Perang Dunia I, disediakan hadiah sekitar 100,000 mark bagi orang yang dapat membuktikan theorema ini.