Niels Henrik Abel
Pergulatan matematikawan melawan kemiskinan: Niels Henrik Abel
(1802 – 1829)
Abel adalah anak kedua dari tujuh bersaudara. Keadaan Norwegia, pada masa itu, sangatlah miskin akibat perang yang terjadi antara Inggris dan Swedia. **) Kelaparan dan kemiskinan adalah hal biasa, bagi keluarga besar dan bahagia ini. Meski setiap hari harus bertahan menahan lapar, namun dengan perut kosong menjaga agar kepala tetap tegak. Tanda-tanda awal tentang bakat matematika Abel, diawali ketika semua saudaranya tertawa dan bermain di ruang keluarga yang memunyai tempat pemanas, matanya tidak terlepas dari memandangi buku matematika, tanpa sedikitpun terganggu oleh berisik suara adik-adiknya. Hal ini menujukkan bahwa bakat matematika Abel sudah terlihat pada masa muda, lewat daya konsentrasi tinggi seperti halnya Archimedes, Newton maupun Gauss.
Karakter murid yang hendak dibangun guru justru banyak disia-siakan oleh perilaku “kejam” ini. Abel pun tidak lepas dari hukuman itu. Masih ada tambahan tendangan dan tinju teman-teman kelas juga diterima Abel sama seperti yang dialami oleh Newton. Walaupun keadaan sekolah tidak memadai, namun hal ini tidak menghalangi Abel menunjukkan dirinya sebagai murid “istimewa” dalam bidang matematika dan fisika.
Jarang ada orang mau menjadi guru, meskipun guru langka. Tidak lama masuklah seorang guru handal tapi bukan matematikawan piawai mengisi lowongan jabatan guru. Kelak guru “berani” ini, Michael Holmboe (1795 – 1850) mengedit karya-karya Abel.
Usia Abel pada saat itu 15 tahun. Belum menunjukkan bakat luar biasanya di bidang matematika kecuali menerima perlakuan buruk dari teman-temannya dengan senyum dan penuh canda. Lewat kelembutan dan kebaikan hati, akhirnya Holmboe dapat mengetahui lebih dalam bakat matematika Abel. Umur 16 tahun, Abel mulai diperkenalkan dengan karya-karya Newton, Euler dan Lagrange.
Sejak saat itu matematika menjadi jalan hidup dan memberi penghiburan bagi Abel. Ketika ditanya bagaimana cara menguasai matematika, langsung dijawab, “Pelajari dari pakar bukan dari murid-muridnya.” Ucapan yang harus dianalisis lebih dalam untuk para penulis buku teks yang biasanya mengungkapkan misi yang diemban dalam prakatanya agar tidak meracuni orang yang tanggung penguasaan matematikanya atau tidak mampu memberi inspirasi bagi para pendidik. Terjalin persahabatan antara Abel dan Holmboe. Meski gurunya bukanlah matematikawan handal, namun Abel mampu memahami dan menghargai, dan di bawah bimbingannya Abel disarankan membaca buku matematika klasik, termasuk Disquisitiones Arithmeticaedari Gauss.
Agar selalu ada asap di dapur, Abel mulai secara mengajar privat anak-anak lain. Holmboe yang berupaya keras membina bakat matematika Abel merogoh sakunya lebih dalam dan menggalang dana kepada teman-temannya agar dapat membiayai Abel masuk universitas Christiania pada tahun 1821. Tahun 1822, Abel lulus. Saat menjelang lulus ini Abel mulai bekerja mencari solusi persamaan pangkat lima (quintik) dengan menggunakan radikal-radikal, sampai akhirnya dia merasa mampu dan mengirimkan makalahnya kepada matematikawan Denmark, Ferdinand Degen, agar dapat diterbitkan pada Royal Society of Copenhagen. Ketika Degen meminta contoh perhitungan darinya, Abel baru menyadari bahwa ada kesalahan dalam makalah tersebut.
Disusul dengan persamaan pangkat tiga dan pangkat empat:
Para matematikawan dan para astronom teman-teman Abel memohon kepada Pemerintah Norwegia agar memberi tunjangan kepada Abel untuk keliling Eropa. Guna meyakinkan pemerintah, Abel menyerahkan karya-karya matematika yang membuat dirinya terkenal. Karya-karya tersebut dapat diterbitkan oleh universitas untuk publikasi agar dapat membuat nama Norwegia dikenal di benua Eropa. Tunjangan akhirnya turun meskipun besarnya tidaklah memadai, sedang karya-karya kiriman akhirnya hilang tak berketentuan. Perjalanan direncanakan ke Jerman dan Perancis; sesampainya di Norwegia langsung menjadi profesor di universitas Kristiania.
Hambatan bahasa dan keinginan melakukan penghematan – tanpa juru alih-bahasa, Abel mempelajari bahasa Perancis dan bahasa Jerman di universitas sebelum berangkat. Waktu luangnya diisi dengan membuat solusi persamaan pangkat lima dengan menggunakan radikal-radikal dan pada tahun 1824, Abel membuktikan bahwa tidak mungkin menyelesaikan persamaan pangkat lima dengan menggunakan radikal-radikal. Karya ini diterbitkan dalam bahasa Perancis dengan biaya sendiri – memotong subsidi “perjalanan.” Dalih Abel adalah bahwa karya ini akan mampu mengundang subsidi – dari pemerintah negara lain – untuk tambahan biaya perjalanan. Tidak banyak tanggapan yang diperoleh sehingga di sini ada istilah bahwa “Abel membakar anak tangganya sendiri.”
Berkelana di mancanegara
Setelah selesai dengan pembuktian bahwa pangkat lima tidak dapat diselesaikan, Abel menuju Jerman dan ke Perancis yang saat itu menjadi surga para matematikawan. Dengan optimisme tinggi Abel berangkat. Beberapa hari sebelum keberangkatannya, Abel bertunangan dengan Crelly Kemp yang bertemu pertama kali pada saat Abel menjadi tamu matematikawan Denmark terkemuka saat ini, [Ferdinand] Degen bebeberapa tahun silam di Copenhagen.
Sebelum berangkat, karyanya diterbitkan dengan uang berasal kantong pribadi ini dikirimkan kepada para matematikawan handal di Eropa, termasuk Gauss, karena Abel berencana mengunjungi Gottingen. Sebelum berangkat ke Jerman, Abel mampir di Copenhagen dan bertemu dengan matematikawan Norwegia dan Denmark. Degen sudah meninggal sehingga Abel disarankan oleh Hansteen agar langsung menuju Perancis. Dalam pertemuan ini pula, Abel diperkenalkan dengan [Leopold] Crelle yang mengaku sebagai matematikawan ***). Kelak perjumpaan dengan Crelle yang menjadi teman akrabnya akan mengubah jalan hidupnya.
Pertengahan tahun 1826, Abel menginap di sebuah tempat kost kecil di Paris dengan induk semang yang memberinya makan dua kali sehari dengan makanan tidak layak. Selama 4 bulan di Paris, Abel menulis surat berisi “penderitaan” dan pertemuannya dengan matematikawan terkemuka Perancis kepada Holmboe:
Bersama dengan Crelle, Abel merencanakan mengunjungi Gauss di Gottingen, namun diterima kabar bahwa Gauss tidak senang dengan solusi quintik yang dibuatnya, sehingga Abel membatalkan rencana kunjungan ke Gottingen.
Tidak jelas alasan mengapa Gauss tidak menyukai karya Abel yang belum pernah dibacanya? Ketika Gauss meninggal, surat Abel masih belum dibuka oleh Gauss.
Ada dua kemungkinan. Pertama, Gauss sudah mempelajari dan membiarkan Abel menerima penghargaan itu atau kedua, Gauss tidak menganggap penting solvabilitas radikal-radikal. Kemungkinan kedua lebih masuk akal karena ketika Gauss menulis thesis pada tahun 1801 sudah disebutkan bahwa solusi aljabar untuk suatu persamaan tidak lebih baik daripada menyatakan hasilnya dengan simbol akar.
Tahun 1828, Abel melihat makalah Jacobi tentang transformasi integral elips. Abel melihat bahwa hasil karya Jacobi tidak jauh berbeda dengan makalah buatannya dan memberi catatan tambahan bahwa hal ini akan memberi dampak pada bagian kedua hasil karyanya tentang fungsi-fungsi elips. Abel kembali menekuni solusi persamaan-persamaan aljabar, dengan tujuan menyelesaikan problem persamaan dengan menggunakan radikal-radikal (problem yang dipecahkan Galois beberapa tahun kemudian). Dengan topik tersebut, Abel berusaha bersaing dengan Jacobi dalam menjabarkan teori fungsi-fungsi elips, dan menulis beberapa makalah tentang topik tersebut.
Masa tua
(1802 – 1829)
Abel | Masa kecil
Ayah Abel, Soren Georg Abel, seorang pastor *) tinggal di Findo, sebuah desa kecil, masuk dalam keuskupan Kristiansand, Norwegia. Selain itu, Soren Abel adalah seorang nasionalis Norwegia yang aktif dalam gerakan kemerdekaan Norwegia, dimana dia lulus dalam bidang theologi dan filsafat. Kakek Abel dari pihak ayah adalah petinggi Protestan di Gjerstad dekat Risor. Ibu Abel, Anne Marie Simonsen, termasuk wanita ringan tangan dan dapat dikatakan sangat serasi dengan profesi ayah Abel, sebagai politikus adalah wanita anak seorang pedagang sekaligus pemilik kapal. Namun ketika Abel berusia satu tahun, kakeknya meninggal.
|
Abel adalah anak kedua dari tujuh bersaudara. Keadaan Norwegia, pada masa itu, sangatlah miskin akibat perang yang terjadi antara Inggris dan Swedia. **) Kelaparan dan kemiskinan adalah hal biasa, bagi keluarga besar dan bahagia ini. Meski setiap hari harus bertahan menahan lapar, namun dengan perut kosong menjaga agar kepala tetap tegak. Tanda-tanda awal tentang bakat matematika Abel, diawali ketika semua saudaranya tertawa dan bermain di ruang keluarga yang memunyai tempat pemanas, matanya tidak terlepas dari memandangi buku matematika, tanpa sedikitpun terganggu oleh berisik suara adik-adiknya. Hal ini menujukkan bahwa bakat matematika Abel sudah terlihat pada masa muda, lewat daya konsentrasi tinggi seperti halnya Archimedes, Newton maupun Gauss.
Masa sekolah
Tahun 1815, Abel bersama kakaknya dikirim ke sekolah Katedral di Christiania, dimana pada tahun sebelumnya semua pengajar-pengajar terbaik ditarik untuk mengajar pada Universitas Christiania yang baru didirikan. Tidak perlu ditanya lagi, kualitas sekolah saat Abel masuk sekolah sangat amburadul. Seperti lazimnya guru-guru jaman dahulu, memberlakukan disiplin ketat terhadap murid. Tidak terkecuali hal yang sama berlaku di Norwegia. Hukuman badan yang cenderung sadis adalah cara yang biasa digunakan guru untuk menghukum murid demi apa yang disebut dengan disiplin.Karakter murid yang hendak dibangun guru justru banyak disia-siakan oleh perilaku “kejam” ini. Abel pun tidak lepas dari hukuman itu. Masih ada tambahan tendangan dan tinju teman-teman kelas juga diterima Abel sama seperti yang dialami oleh Newton. Walaupun keadaan sekolah tidak memadai, namun hal ini tidak menghalangi Abel menunjukkan dirinya sebagai murid “istimewa” dalam bidang matematika dan fisika.
Jarang ada orang mau menjadi guru, meskipun guru langka. Tidak lama masuklah seorang guru handal tapi bukan matematikawan piawai mengisi lowongan jabatan guru. Kelak guru “berani” ini, Michael Holmboe (1795 – 1850) mengedit karya-karya Abel.
Usia Abel pada saat itu 15 tahun. Belum menunjukkan bakat luar biasanya di bidang matematika kecuali menerima perlakuan buruk dari teman-temannya dengan senyum dan penuh canda. Lewat kelembutan dan kebaikan hati, akhirnya Holmboe dapat mengetahui lebih dalam bakat matematika Abel. Umur 16 tahun, Abel mulai diperkenalkan dengan karya-karya Newton, Euler dan Lagrange.
Sejak saat itu matematika menjadi jalan hidup dan memberi penghiburan bagi Abel. Ketika ditanya bagaimana cara menguasai matematika, langsung dijawab, “Pelajari dari pakar bukan dari murid-muridnya.” Ucapan yang harus dianalisis lebih dalam untuk para penulis buku teks yang biasanya mengungkapkan misi yang diemban dalam prakatanya agar tidak meracuni orang yang tanggung penguasaan matematikanya atau tidak mampu memberi inspirasi bagi para pendidik. Terjalin persahabatan antara Abel dan Holmboe. Meski gurunya bukanlah matematikawan handal, namun Abel mampu memahami dan menghargai, dan di bawah bimbingannya Abel disarankan membaca buku matematika klasik, termasuk Disquisitiones Arithmeticaedari Gauss.
Berperan sebagai kepala rumah tangga
Soren Georg Abel adalah seorang politikus Norwegia, sehingga saat Swedia membentuk pemerintahan sementara di Norwegia pada tahun 1814 serta menjadi dewan legislatif Norwegia. Peran Swedia yang besar membuat pengaruh Soren dalam pemerintahan memudar. Merasa disingkirkan membuat Soren mencari pelarian pada minuman keras. Ibunya juga tidak dapat menerima kenyataan - bangkrut – dan mulai tidak memperhatikan anak-anaknya lagi. Tabiat Soren ini membuat dia tidak terpilih lagi pada pemilihan ulang pada tahun 1818. Tidak dapat menanggung semua kenyataan ini Soren meninggal pada tahun ini pula. Tanpa uang dan utang menumpuk, Abel tidak mampu lagi meneruskan pendidikan ke universitas dan sepenuhnya harus menunjang kehidupan ibu dan saudara-saudaranya. Abel memang mampu menahan “derita” kelaparan ini, namun hal ini membawa dampak pada daya tahan tubuhnya.Agar selalu ada asap di dapur, Abel mulai secara mengajar privat anak-anak lain. Holmboe yang berupaya keras membina bakat matematika Abel merogoh sakunya lebih dalam dan menggalang dana kepada teman-temannya agar dapat membiayai Abel masuk universitas Christiania pada tahun 1821. Tahun 1822, Abel lulus. Saat menjelang lulus ini Abel mulai bekerja mencari solusi persamaan pangkat lima (quintik) dengan menggunakan radikal-radikal, sampai akhirnya dia merasa mampu dan mengirimkan makalahnya kepada matematikawan Denmark, Ferdinand Degen, agar dapat diterbitkan pada Royal Society of Copenhagen. Ketika Degen meminta contoh perhitungan darinya, Abel baru menyadari bahwa ada kesalahan dalam makalah tersebut.
Pemikiran tidak lazim
Matematikawan jaman dahulu senantiasa berpikir bahwa mereka sudah melakukan pembuktian walau tidak tuntas. Memang hal ini tidak dapat dihindari. Beberapa topik seperti karya Euler tentang deret tak terhingga (infinite series) dan analisis dari Lagrange tidak dapat dibuktikan secara tuntas. Abel berupaya mengisi celah argumen yang dilalui oleh para pendahulunya, dan “menambal” semua celah itu agar tidak ada lagi yang tidak dapat dibuktikan secara tuntas. Salah satu problem klasik yang perlu diprioritaskan adalah pembuktian theorema binomial umum, dalam kasus tertentu sudah dinyatakan oleh Newton dan Euler. Memang mudah memaparkan pembuktian secara umum, namun tidak akan pernah tercetak dalam buku pelajaran sekolah tanpa peran Abel. Pembuktian Abel bukan hanya menyandang misi untuk membuat teori-teori matematika makin sahih, tapi juga menyentuh aplikasi dari deret tak terhingga. Solusi untuk persamaan pangkat satu dan pangkat dua:
ax + b = 0, ax² + bx + c = 0
ax³ + bx² + cx + d = 0, ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0
Semua persamaan di atas mengandung x dengan koefisien a, b, c, d, e. Solusi untuk empat persamaan diperoleh dengan menggunakan cara-cara tertentu lewat operasi penjumlahan, pengurangan, pembagian dan akar, sehingga semua koefisien dapat diketahui, disebut dengan cara aljabar atau aljabarik. Di sini Abel mampu menemukan nilai a, b, c, d dan e lewat aljabarik yang disebut dengan “terbatas”, karena hanya menggunakan operasi-operasi di atas. Sukses menyelesaikan persamaan aljabar pangkat empat, para aljabaris berjuang hampir selama tiga abad untuk menemukan cara serupa bahkan dengan menggunakan operasi-operasi lain sehingga disebut dengan aljabarik “tak terbatas” untuk menemukan solusi untuk persamaan pangkat lima (quintic).
ax5 + bx4 + cx³ + dx² + ex + f = 0
Mereka gagal. Pada titik ini Abel masuk. Pembuktian pertama oleh Abel bahwa quintic tidak dapat dicari dirasa kurang memuaskan sampai diterbitkan dalam bentuk buku pada tahun 1799 oleh Paolo Ruffini [1765 – 1822] sehingga hasilnya dikenal dengan nama theorema Abel-Ruffini.ax5 + bx4 + cx³ + dx² + ex + f = 0
Mendapat subsidi
Tahun 1822, Abel menyelesaikan kontrak kerja dengan universitas Kristiania. Holmboe berusaha keras membantu Abel ke luar dari jurang kemiskinan, dengan menyakinkan rekan-rekannya agar memberi subsidi kepada Abel sehingga dapat melakukan penelitian matematika. Mereka bangga apabila ada matematikawan Norwegia yang terkenal di Erpoa, namun mereka sendiri masih mengalami kesulitan untuk makan sehari-harinya. Abel berencana pergi untuk pengembangan diri dengan pergi ke Skandinavia, meskipun mendamba pergi ke Perancis – gudang matematiwan handal – dan ke Jerman untuk bertemu dengan matematikawan paling terkenal, Gauss.Para matematikawan dan para astronom teman-teman Abel memohon kepada Pemerintah Norwegia agar memberi tunjangan kepada Abel untuk keliling Eropa. Guna meyakinkan pemerintah, Abel menyerahkan karya-karya matematika yang membuat dirinya terkenal. Karya-karya tersebut dapat diterbitkan oleh universitas untuk publikasi agar dapat membuat nama Norwegia dikenal di benua Eropa. Tunjangan akhirnya turun meskipun besarnya tidaklah memadai, sedang karya-karya kiriman akhirnya hilang tak berketentuan. Perjalanan direncanakan ke Jerman dan Perancis; sesampainya di Norwegia langsung menjadi profesor di universitas Kristiania.
Hambatan bahasa dan keinginan melakukan penghematan – tanpa juru alih-bahasa, Abel mempelajari bahasa Perancis dan bahasa Jerman di universitas sebelum berangkat. Waktu luangnya diisi dengan membuat solusi persamaan pangkat lima dengan menggunakan radikal-radikal dan pada tahun 1824, Abel membuktikan bahwa tidak mungkin menyelesaikan persamaan pangkat lima dengan menggunakan radikal-radikal. Karya ini diterbitkan dalam bahasa Perancis dengan biaya sendiri – memotong subsidi “perjalanan.” Dalih Abel adalah bahwa karya ini akan mampu mengundang subsidi – dari pemerintah negara lain – untuk tambahan biaya perjalanan. Tidak banyak tanggapan yang diperoleh sehingga di sini ada istilah bahwa “Abel membakar anak tangganya sendiri.”
Berkelana di mancanegara
Setelah selesai dengan pembuktian bahwa pangkat lima tidak dapat diselesaikan, Abel menuju Jerman dan ke Perancis yang saat itu menjadi surga para matematikawan. Dengan optimisme tinggi Abel berangkat. Beberapa hari sebelum keberangkatannya, Abel bertunangan dengan Crelly Kemp yang bertemu pertama kali pada saat Abel menjadi tamu matematikawan Denmark terkemuka saat ini, [Ferdinand] Degen bebeberapa tahun silam di Copenhagen.
Sebelum berangkat, karyanya diterbitkan dengan uang berasal kantong pribadi ini dikirimkan kepada para matematikawan handal di Eropa, termasuk Gauss, karena Abel berencana mengunjungi Gottingen. Sebelum berangkat ke Jerman, Abel mampir di Copenhagen dan bertemu dengan matematikawan Norwegia dan Denmark. Degen sudah meninggal sehingga Abel disarankan oleh Hansteen agar langsung menuju Perancis. Dalam pertemuan ini pula, Abel diperkenalkan dengan [Leopold] Crelle yang mengaku sebagai matematikawan ***). Kelak perjumpaan dengan Crelle yang menjadi teman akrabnya akan mengubah jalan hidupnya.
Pertengahan tahun 1826, Abel menginap di sebuah tempat kost kecil di Paris dengan induk semang yang memberinya makan dua kali sehari dengan makanan tidak layak. Selama 4 bulan di Paris, Abel menulis surat berisi “penderitaan” dan pertemuannya dengan matematikawan terkemuka Perancis kepada Holmboe:
Meski saya tinggal di tengah hiruk-pikuk kota Paris, namun rasanya terasing dan tidak memunyai nilai tambah. Saya bertemu dengan Legendre, Cauchy. Legendre sangat sopan. Cauchy adalah peneliti matematika murni, pandai, angkuh dan terlalu sibuk. Hachette kurang dikenal namun matematikawan handal; Saigey, editor Bulletin des Sciences. Lacroix sudah sangat tua. Poisson, Fourier, Ampere sibuk sendiri dengan meneliti magnetik dan subyek-subyek fisik. Laplace sudah tidak menulis lagi, dimana karya terakhir adalah teori probabilitas.
Hanya Dirichlet dari Jerman yang kadang datang menyengukku selalu memberi dukungan. Rupanya, bangsa Perancis lebih berhati-hati dengan pendatang dibandingkan dengan bangsa Jerman. Ketika saya mempresentasikan makalah tentang fungsi-fungsi transendental dihadapan Academy of Sciences, Cauchy hanya sekilas melihat. Saya berani mengatakan bahwa ini adalah karya terbaik. Saya takut mendengar apa opini dari Academy.
Ditolak Gauss
Abel menemui Crelle di Berlin, dimana Crelle merencanakan untuk menerbitkan jurnal matematika. Abel didaulat oleh Crelle untuk menulis tentang tidak adanya solusi untuk quintik. Judul makalah Recherches sur les Functions Elliptique diterbitkan pada tahun 1827 dalam nomor perdana Crelle Journal bersama enam makalah Abel lainnya. Saat di Berlin ini, Abel mendengar bahwa posisi profesor matematika di universitas Cristiania dipegang oleh Holmboe. Mengetahui bahwa tidak ada masa depan di Norwegia, Abel mulai kuatir dengan masa depannya.Bersama dengan Crelle, Abel merencanakan mengunjungi Gauss di Gottingen, namun diterima kabar bahwa Gauss tidak senang dengan solusi quintik yang dibuatnya, sehingga Abel membatalkan rencana kunjungan ke Gottingen.
Tidak jelas alasan mengapa Gauss tidak menyukai karya Abel yang belum pernah dibacanya? Ketika Gauss meninggal, surat Abel masih belum dibuka oleh Gauss.
Ada dua kemungkinan. Pertama, Gauss sudah mempelajari dan membiarkan Abel menerima penghargaan itu atau kedua, Gauss tidak menganggap penting solvabilitas radikal-radikal. Kemungkinan kedua lebih masuk akal karena ketika Gauss menulis thesis pada tahun 1801 sudah disebutkan bahwa solusi aljabar untuk suatu persamaan tidak lebih baik daripada menyatakan hasilnya dengan simbol akar.
Bersaing dengan Jacobi
Menulis artikel-artikel mengisi Jurnal Crelle, dengan kantong kosong dan kesehatan makin memburuk, Abel kembali ke Berlin pada akhir tahun 1826. Di Berlin, Abel meminjam sejumlah uang dan kembali menekuni fungsi-fungsi elips. Abel mampu mengtransformasikan teori integral elips menjadi teori fungsi-fungsi elips dengan menggunakan fungsi pembalikan (invert). Crelle membujuk Abel agar tinggal di Berlin sambil dia berjanji mencari jabatan akademis yang didambakan sekaligus menawarinya menjadi editor Jurnal Crelle. Namun Abel lebih suka pulang ke rumahnya di Norwegia dengan utang menumpuk. Bulan Mei tahun 1827, Abel tiba di Cristiania dan mendapat sejumlah uang penghargaan dari universitas yang memunyai hak untuk memotong dari gajinya sebagai pengajar yang akan diterimanya. Untuk mendapatkan tambahan uang, Abel menjadi guru les dan tunangannya bekerja sebagai suster pada teman Abel yang tinggal di Froland.Tahun 1828, Abel melihat makalah Jacobi tentang transformasi integral elips. Abel melihat bahwa hasil karya Jacobi tidak jauh berbeda dengan makalah buatannya dan memberi catatan tambahan bahwa hal ini akan memberi dampak pada bagian kedua hasil karyanya tentang fungsi-fungsi elips. Abel kembali menekuni solusi persamaan-persamaan aljabar, dengan tujuan menyelesaikan problem persamaan dengan menggunakan radikal-radikal (problem yang dipecahkan Galois beberapa tahun kemudian). Dengan topik tersebut, Abel berusaha bersaing dengan Jacobi dalam menjabarkan teori fungsi-fungsi elips, dan menulis beberapa makalah tentang topik tersebut.
Posting Komentar untuk "Niels Henrik Abel"