Arthur Cayley

Pengacara yang banting setir menjadi Matematikawan

Arthur Cayley *

1821 - 1895

Cayley

Masa kecil Seorang pedagang Henry Cayley dan seorang wanita bernama Maria Antoina Doughty memunyai anak kedua bernama Arthur Cayley yang dilahirkan di Richmond, Surrey, Inggris. Meskipun sudah beberapa generasi tinggal di Yorkshire, Inggris, namun masa kecil Cayley tinggal justru berada di St. Petersburg, Rusia. Kelahiran Arthur terjadi saat pasangan itu secara rutin pergi ke Inggris. Hampir selama delapan tahun masa kecil Cayley, dihabiskan di  St. Petersburg – ada dugaan nenek-moyang ibu Arthur berasal dari Rusia atau tempat usaha dagang ayahnya di Rusia, sebelum kembali ke Inggris bersama kedua orang tuanya – karena pensiun, dan tinggal di dekat London.

Bakat menghitung Cayley di sekolah di atas rata-rata dan setelah dia bersekolah di King College pada tahun 1835, minatnya untuk mempelajari matematika lanjutan makin besar. Guru matematika di sekolah menyarankan agar Cayley mengambil jurusan sesuai dengan minat bukan mengikuti harapan orang tua yaitu meneruskan bisnis keluarga sebagai seorang pedagang.

Kuliah di Cambridge

Tahun 1838, Cayley kuliah di Trinity College, Cambridge dan lulus pada tahun 1842. Selama kuliah ini hobi Cayley adalah membaca novel karya Jane Austin, Dickens, Scott, Byron, Thackeray, Shakespeare yang sekarang menjadi karya-karya klasik, namun hidup pada masa itu. Menjelang lulus, Cayley mengarang tiga makalah yang diterbitkan pada  Cambridge Mathematical Journalyang baru didirikan oleh Duncan Gregory. Cayley lulus dengan predikat terbaik dan menjadi juara pertama dalam suatu  kontes dan memperoleh penghargaan Smith (Smith Prize). Selama empat tahun mengajar di Cambridge sambil belajar karena mendapat bea siswa dan selama kurun waktu itu, dia mengeluarkan 28 makalah untuk Cambridge Mathematical Journal., dimana pengaruh dari Lagrange dan Laplace sangat kentara. Bea siswa dibatasi sehingga Cayley harus mencari pekerjaan, namun harus menyelasaikan ikatan dinas selama tiga tahun.  Cayley dipilih Fellow of Trinity dan menjadi asisten pembimbing (tutor). Tugas sehari-hari dapat dikatakan ringan karena hanya mengajar beberapa orang murid saja, dimana hal ini tidak menghambat kerjanya. Waktu luang digunakan untuk melakukan penelitian matematika yang sudah dilakukan sejak remaja. Seperti halnya Abel, Galois dan matematikawan yang baru “tancap gas” pada kisaran usia dua-puluh tahunan, Cayley menguasai matematika melalui inspirasi belaka. Karya perdana diterbitkan pada tahun 1821, saat usianya dua puluh tahun, belajar matematika sendiri dengan membaca buku Lagrange dan Laplace. Ketika kuliah, Cayley memilih jurusan hukum, sehingga selama 14 tahun sejak lulus ini Cayley menjadi pengacara. Mata pencaharian sebagai pengacara ternyata hanya “untuk cari uang”, namun tidak dapat menghambatnya untuk tetap mempelajari matematika.

Pendaki gunung

Selepas dari Cambridge pada umur 25 tahun, Cayley bersenang-senang dengan merancang liburan dengan berjalan kaki menelusuri Eropa, mendaki gunung dan belajar menggambar. Meskipun badannya tampak tidak bertenaga namun memunyai stamina luar biasa. Mampu jalan kali sepanjang malam, makan pagi dengan minum embun sambil meluangkan waktu untuk belajar matematika. Kunjungan pertama ke Swiss dan banyak mendaki gunung-gunung yang akhirnya menjadi hobi sepanjang hidupnya. Berupaya menciptakan “matematika modern” gambarannya dan menyebut tidak akan ada profesor yang suka mendaki gunung atau menjalahi perdesaaan. Dari Swiss perjalanan dilanjutkan di Italia utara. Mengamati dan akhirnya mampu menghargai karya-karya arsitektur dan mulai menyukai lukisan. Cayley mulai menggambar dengan cat minyak, yang diakuinya sendiri sedikit punya bakat. Pulang dari penjelajahan ini ternyata tidak ada posisi sebagai matematikawan. Melamar di Cambridge ternyata tidak ada posisi kosong. Bidang hukum, menarik hati Cayley. Kagum dengan melihat banyaknya penuntut umum dan hakim yang bekerja di pengadilan Inggris pada awal abad sembilan belas ini. Belajar sambil magang selama tiga tahun sebelum bekerja sendiri.

 Sekantor dengan Sylvester

Sewaktu menjadi pengacara, Cayley pergi ke Dublin hanya untuk mendengarkan kuliah Hamilton tentang quaternion. Duduk di sampingnya adalah Salmon, dan  selama kuliah berlangsung dan mereka berdua saling bertukar ide-ide matematikal bertahun-tahun setelah perkenalan itu. Teman Cayley lainnya adalah Sylvester yang juga memunyai profesi dalam bidang hukum. Bersama Sylvester, Cayley bekerjasama pada pengadilan di London dan mereka berdua selalu terlibat diskusi mendalam tentang pertanyaan-pertanyaan matematikal dalam waktu-waktu senggang di pengadilan. Selama 14 tahun menjadi pengacara, Cayley menerbitkan 250 makalah matematikal – coba bandingkan dengan mereka yang memunyai profesi atau bekerja penuh sebagai seorang matematikawan – produktivitasnya ada di bawah ‘amatiran’ Ini.

Tahun 1863, diangkat menjadi profesor matematika murni di Cambridge. Hal ini merupakan ‘bencana’ bagi Cayley karena hanya menerima gaji yang jauh di bawah penghasilannya sebagai seorang pengacara handal. Nyatanya Cayley mau menerima keadaan ini dengan hari gembira dan mencurahkan segenap hatinya demi matematika. Tugas sebagai profesor matematika ternyata tidak mudah. Selain menjelaskan prinsip-prinsip matematika juga harus mampu mengaplikasikannya ke sains. Cayley mampu berbuat lebih dari itu. Tidak terbendung lagi, mengarang lebih dari 900 makalah dan catatan dengan cakupan hampir meliputi semua aspek matematika modern. Karya yang paling menonjol adalah pengembangan matriks aljabar, geometri non-Euclidian dan geometri untuk n dimensi.

Matematikawan segala bidang

Tidak puas dengan semua itu, awal tahun 1849, Cayley mulai menghubungkan ide-ide matematika dalam makalahnya dengan permutasi milik Cauchy. Beberapa tahun sebelumnya, tahun 1845, mengeluarkan makalah yang merombak pemikiran pada saat itu, On the Theory of Linear Transformations.

Tahun 1854, Cayley membuat dua makalah yang mengandung gagasan tentang himpunan abstrak. Pada saat itu hanya dikenal himpunan dalam permutasi dan gagasan Cayley adalah hal baru yang dianggap radikal. Disusul memberi definisi tentang himpunan abstrak dan memberikan tabel yang menunjukkan perkalian himpunan dan himpunan permutasi istimewa yang kemudian lebih dikenal dengan sebutan “Tabel Cayley.”  Pokok penting di sini adalah pengenalan konsep himpunan abstrak, dan Cayley  menyadari bahwa matrik dan quaternionadalah suatu himpunan.

Kiprah Cayley paling besar adalah mengembangkan teori invarian aljabarik, dan mengembangkan geometri n-dimensi guna aplikasi fisika pada kontinuum ruang-waktu. Karyanya dalam bidang matrik menjadi dasar bagi mekanika quantum, yang kelak dikembangkan oleh [Werner] Heisenberg pada tahun 1925. Cayley juga menyarankan agar geometri Euclidian dan non-Euclidian disebut dengan geometri istimewa. Menggabungkan geometri proyektif dan geometri metrikal dimana terjadi keterkaitan antara bentuk setiap sudut dan panjang setiap garis. Cayley mempelopori studi tentang geometri n dimensi, teori invarian, geometri bidang-bidang datar dan berkiprah pada teori fungsi-fungsi elips.

Teori Invarian

Teori invarian aljabarik merupakan pengembangan konsep invarian asalnya tumbuh lewat suatu pengamatan sederhana. Ide awal dari Lagrange, dilanjutkan oleh aritmatika Gauss dan dimunculkan kembali oleh Boole, namun semuanya tidak menyadari bahwa kesederhanaan ini menyembunyikan fenomena aljabarik yang luar biasa sehingga dapat menjadi “benih” teori yang sangat luas lingkupnya. Di mulai dari persamaan kuadrat biasa, ax² + 2bx + c = 0 yang akan memunyai dua hasil akar yang sama apabila b² - ac adalah nol. Untuk mempersingkat b² - ac disebut dengan determinan dengan notasi D.

Gantilah nilai xdengan y yang diperoleh lewat transformasi y = px/q **) atau x = yq/p. Hasil yang diperoleh ditranformasikan ke dalam persamaan Ay² + 2By + C = 0.

Masukan x = yq/p ke dalam persamaan:  ax² + 2bx + c = 0 sehingga menjadi:

            ay²q²/p²  + 2byq/p + c = 0                  (i)

           

Kalikan dengan p² menjadi:

aq²y²  + 2bpqy + cp² = 0                    (ii)

Padankan persamaan ini dengan bentuk persamaan Ay² + 2By + C = 0

A = aq²

B = bpq

C = cp²

Besarnya determinan (b2 – ac) untuk persamaan ini adalah: p²q² (b² - ac).

Apa yang dapat disimpulkan?

Diskriminan dari persamaan hasil transformasi sama dengan diskriminan persamaan awal, dikalikan dengan faktor p²q² dimana bergantung hanya pada besarnya koefisien p dan q dalam transformasi y = px/q yaitu x diekspresikan dalam y.

Teknik ini disebut dengan invarian yang artinya sama atau menyerupai, karena entah dengan cara bagaimanapun, dengan teknik substitusi peubah x dengan peubah y yang barangkali lebih rumit pun hasilnya akan mengelompok (terbagi), yaitu: b² - ac terpisah dengan koefisien yang terbentuk dari peubah-peubah yang digunakan.

Hasil ini sebenarnya sudah diantisipasi oleh Boole (pada tahun 1841) maupun Eisenstein [1823 – 1852], namun tidak dikembangkan atau dilakukan penelitian lebih lanjut oleh mereka. Temuan ini mendasari Heisenberg menemukan mekanika quantumpada tahun 1925.

Kehidupan akademis

Tahun 1863, universitas Cambridge membuka gelar profesor dalam bidang matematika dan posisi ketua ditawarkan kepada Cayley yang dengan cepat menyanggupi. Beberapa bulan kedudian Cayley menikah dengan Susan Moline. Meskipun menjadi profesor tidak memberinya banyak uang dibanding sebagai pengacara, Cayley tidak pernah menyesali. Beberapa tahun kemudian, pihak universitas bagu menaikkan gaji Cayley seiring dengan makin banyaknya jam mengajar. Sekarang, hidup Cayley sepenuhnya dipersembahkan untuk penelitian matematika dan tugas administrasi universitas. Pernikahannya makin bahagia begitu lahir dua anak (satu laki dan satu perempuan). Umur makin tua namun gairah untuk matematika terus ditularkan kepada para siswanya baik lewat kuliah maupun lewat nasihat bagi para pemula yang ingin menempuh karir dalam bidang matematika.

Masa tua masih ttetap aktif mengajar. Beberapa siswanya menggambarkan Cayley sebagai orang yang baik hati, mau memeriksa makalah dengan sabar, duduk ketika mengajar tidak dengan badan lurus namun selalu menopang badan dengan satu siku dengan tangan lain aktif. Perawakan menjadi sedikit bungkuk, pandangan mata aktif, bicara  dengan tegas dan selalu tersenyum. 

Masa tua

Tahun 1881, diundang untuk memberikan kuliah di universitas John Hopkins di Amerika, dimana temannya, Sylvester menjadi profesor matematika di sana. Dari awal  tahun sampai pertengahan tahun 1882, Cayley mengajar di sana untuk  mata kuliah Abelian dan Fungsi-fungsi Theta. Tahun 1883, Cayley diangkat menjadi presiden British Association. Dalam pidatonya, dia mengungkapkan pandangan-pandangannya tentang geometri. Tetap berkarya di usia tua.

Masa tua menderita penyakit, namun tidak mampu menghalangi semangatnya. Cayley meninggal pada pada Januari 1895. Forsyth, salah seorang muridnya, mengungkapkan bahwa Cayley ingin meninggal sebagai “Pejuang Ceria” (Happy  Warrior). Forsyth akan menggantikan posisi Cayley  di Cambridge dan menulis autobiografinya. Cayley mewariskan aliran utama dalam matematika dan semua tertulis dalam kumpulan makalah matematika (Collected Mathematical Papers)   yang terdiri dari 13 jilid yang masing-masing setebal ± 600 lembar kuarto yang merupakan rangkuman 966 makalah.

* Agar lebih jelas dalam membaca uraian tentang teori Invarian dapat dilengkapi dengan membaca riwayat Sylvester. Mereka berdua merintis teori ini bolah dikatakan secara bersamaan dan saling berdiskusi. Jadi sulit untuk menentukan siapa yang pertama kali merintis maupun yang mengembangkan.

** Sebenarnya contoh yang digunakan adalah mengekspresikan x = (q – sy)/(ry – p) atau jika diubah dalam bentuk y = (px + q)/(rx + s) sehingga akan diperoleh A = as² - 2bsr + cr²; B = -aqs + b(qr + sp) – cpr; C = aq² - 2bpq + cp². B2 – Ac = (ps – qr)² (b² – ac). Substitusi x = (q – sy)/(ry – p), nantinya digunakan sebagai contoh untuk perhitungan dengan menggunakan matrik. Contoh selanjutnya dengan menggunakan besaran x dan y dapat dilihat pada Sylvester.