Charles Hermite

Cacat adalah berkah terselubung bagi matematikawan ini

Charles Hermite

1822 - 1901

Charles Hermite

Masa kecil Ferdinand Hermite adalah ayah Charles Hermite, sedangkan Madeleine Lallemand adalah ibunya. Ferdinand adalah seorang insinyur kenamaan dan bekerja di pertambangan garam dekat kota Dieuse. Setelah menikah, Ferdinand membantu bisnis keluarga Lallemand, yaitu menjadi pedagang tirai atau gordjin. Bakat asli Ferdinand adalah bidang seni sehingga sembari bisnis, meluangkan waktu untuk mengembangkan bakatnya. Hermite adalah anak keenam dari tujuh bersaudara dan ketika berusia tujuh tahun, kedua orang tuanya meninggalkan Dieuse dan pindah ke Nancy karena memindahkan semua aktivitas bisnisnya ke Nancy.

Sekolah bukanlah prioritas utama kedua orang tuanya karena kaki kanan Hermite cacat dan mengalami kesulitan apabila harus berjalan sehingga harus menggunakan tongkat. Tampaknya cacat ini menghadirkan problem dalam menemukan karir, namun ada berkah terselubung. Pada masa ini Hermite dididik oleh kedua orang tuanya.

Di Nancy, Hermite sekolah di College de Nancy. Kemudian pindah ke Paris dan sekolah di College Henri. Tahun 1840 – 1841, Hermite menuntut ilmu di College Louise-le-Grand – sekolah otoriter di tempat sekolah Galois dengan guru yang bertindak seperti tirani (baca: Galois).

Di Louis de Grand

Hermite sekolah di tempat almamater Galois ini untuk mempersiapkan diri masuk ke Ecole. Awalnya tidak menyukai pelajaran matematika di kelas. Pengajar fisika yang kompeten membuat dirinya tertarik. Selain itu Hermite harus belajar ilmu klasik sehingga akhirnya Hermite justru hebat dalam mengarang prosa dengan indahnya. Hanya seorang pengajar, profesor Richard, yang menaruh perhatian kepada perkembangan Hermite. Untuk tidak mengulang “insiden” Galois dan menyelamatkan Hermite dari mengambil jalur minat yang salah, Richard menyarankannya agar belajar membaca di perpustakaan Sainte-Genevieve. Dalam perpustakaan ini Hermite menemukan dan memperlajari memoar Lagrange tentang solusi persamaan-persamaan numerikal. Hermite terus menabung hingga akhirnya mencukupi untuk membeli terjemahan bahasa Perancis dari Disquisitiones Arithmeticae dari Gauss. Buku itu terus dibaca sehingga benar-benar dikuasainya. Hermite menyebutkan bahwa lewat kedua buku tersebut, dia memahami aljabar. Seterusnya, mempelajari buku-buku Euler dan Laplace. Richard terus mengawasi Hermite dengan penuh perhatian dan membimbing dalam melakukan investigasi terhadap gagasan-gagasan matematika agar mampu bersaing dengan siswa pendaftar lain. Melihat kemajuan Hermite, tanpa ragu lagi, profesor Richard, mengatakan kepada ayahnya bahwa Hermite adalah “Lagrange muda.”

Persamaan quintik

Aritmatika menurut pandangan Gauss berkutat dengan integer rasional 1, 2, 3,…; bilangan irrasional (seperti √2) dikeluarkan dari perhitungan. Dalam persamaan ax²+ 2bxy + cy² = m, dimana a, b, c, m adalah integer-integer yang diketahui dan dibedakan dengan integer solusi x, yyang ada dalam persamaan. Penekanan di sini adalah problem dinyatakan dan sepenuhnya ada dalam wilayah integer rasional, yang sering disebut dengan bilangan diskret. Untuk melakukan analisis, yang terkait dengan bilangan berkesinambungan (continuous), tampaknya problem diskret tidak mungkin diselesaikan adalah kesimpulan Hermite. Mulai dari formulasi diskret, dia menggunakan analisis untuk memecahkan problem. Analisis sejauh ini banyak dikembangkan dengan teknik-teknik diskret yang ditemukan untuk aljabar dan aritmatika, Hermit membuat perbandingan untuk mengenalkan “mesin modern” ini ke dalam “hasil karya” abad pertengahan. Tidak memakai semua peralatan itu, Hermite mengemukakan temuannya “teori bentuk” aritmatika yang menyederhanakan persamaan di atas, ax² + 2bxy + cy² = m yang disebut dengan persamaan pangkat n dengan s bilangan tak diketahui, beda dengan Gauss yang menyebut persamaan pangkat dua dengan dua bilangan tak diketahui.

Sukses dengan hal ini, Hermite memulai penjelajahan terhadap persamaan pangkat lima (quintik) dan bilangan transendental. Disebutkan bahwa persamaan pangkat lima dapat disusut, dengan melakukan substitusi [bilangan tak diketahui x] dengan koefisien tertentu tanpa menggunakan istilah irrasional maupun bentuk akar pangkat dua atau akar pangkat tiga.

Contoh: x² –  a = 0 memunyai dua nilai x yaitu: x = +√a dan x = -√a; memunyai “banyak nilai”, bilangan akar , atau bilangan irrasional  tingkat dua, muncul dalam notasi ±. Rumus untuk persamaan kubik akan menyangkut tiga bilangan irrasional ³√1, dan memunyai tiga nilai.

Hermite melakukan pendekatan dengan cara berbeda yaitu menggunakan “peubah pembantu” seperti dilakukan lewat contoh persamaan:

                                               

x³ - 3x + 2a = 0

Dengan menghadirkan koefisien a sebagai sinus sudut A, misalnya, agar tidak diperoleh hasil dalam bentuk akar, diubah menjadi fungsi-fungsi:

            2sin A/3, 2sin (a+2¶)/3, 2sin (A+4¶)/3

Di sini Hermite menggunakan solusi trigonometrik, dan cara juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan quintik.

Benci sekaligus cinta dengan Ecole

Seperti halnya Galois, Hermite tertarik untuk mencari solusi persamaan-persamaan aljabarik dan beberapa karyanya menunjukkan upayanya menyatakan bahwa persamaan pangkat lima (quintik) tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan radikal-radikal. Meskipun di sekolah yang sama, Hermite tidak pernah mendengar ikhwal tentang Galois. Hal ini lazim karena komunitas matematika belum menyadari sumbangsih Galois, namun justeru terkesima dengan sumbangsih Ruffini dan Abel. 

Hermite tertarik untuk kuliah di Ecole Polytechnique dan menyiapkan diri selama satu tahun. Dibimbing oleh Catalan, pada tahun 1841 – 1842, dan saat diumumkan diterima sebagai mahasiswa, namun ada pada peringkat enam puluh delapan. Setahun kuliah di Ecole namun dia tidak boleh melanjutkan karena cacat fisiknya. Keputusan diskriminatif ini membuat dirinya patah arang dengan Ecole seperti halnya Galois. Berusaha keras mempelajari matematika dengan belajar sendiri. Menjalin persahabatan dengan Sturm, Joseph Bertrand, saling berkirim surat dengan Jacobi dan membantu Liouville adalah upaya-upaya yang dilakukan Hermite untuk memperdalam matematika.

Hasilnya adalah memunyai istri, Louise Bertrand, yang tidak lain adalah adik kandung Joseph Bertrand. Bertukar gagasan dengan Jacobi tentang persamaan-persamaan diferensial yang dapat memenuhi fungsi-fungsi theta dan menggunakan deret Fourier untuk menyelesaikannya. Selama lima tahun berkecimpung ini, Hermite lulus ujian dan mendapat lisensi untuk menjadi pengajar pada tahun 1847. Setahun kemudian, dipanggil Ecole - yang mengecewakan dirinya, untuk melanjutkan kuliah, setelah tertunda selama empat tahun sambil mengerjakan tugas-tugas administrasi.

Karya-karya Hermite

Semasa sekolah di Loise-le-Grand, Hermite membuat dua makalah yang dikirim ke Nouvelles Annales de Mathematiques, jurnal matematika untuk sekolah lanjutan yang mulai terbit pada tahun 1842. Makalah pertama berisi contoh sederhana yaitu mengupas bagian-bagian kerucut (conics section) dengan menggunakan geometri analitik. Makalah kedua, singkat karena hanya enam setengah halaman, mengupas tentang mencari penyelesaian aljabarik untuk persamaan pangkat lima.

Hermite membuat terobosan dalam teori bilangan dan aljabar, orthogonal polinomial, dan fungsi-fungsi elips. Penemuan penting yang dilakukan selama 10 tahun bekerja di Ecole. Tahun 1848, membuktikan fungsi-fungsi periodik ganda yang dapat diberlakukan sebagai quotient seluruh fungsi-fungsi periodik. Tahun 1848 mengirimkan memoar kepada Academie des Sciences untuk aplikasi teknik residu Cauchy terhadap fungsi-fungsi periodik ganda.

Topik lain yang dibedah oleh Hermite adlah bentuk-bentuk kuadratik yang membuat dia mempelajari teori invarian (baca: Cayley dan Sylvester) dan menemukan hukum saling-mempengaruhi (reciprocity law) yang terkait dengan bentuk-bentuk [bilangan] biner. Pemahamannya akan bentuk-bentuk kuadratik dan teori invarian dirangkum ke dalam teori transformasi pada tahun 1855. Terobosan ini mampu menjelaskan bentuk hubungan antara teori bilangan, fungsi-fungsi theta dan transformasi-transformasi dari fungsi-fungsi Abelian.

Tahun 1848 – 1850 menjadi dosen pengganti Libri di College de France. Tahun 1869 diangkat menjadi di Ecole Normale dan akhirnya pada tahun 1870 diangkat menjadi profesor oleh universitas Sorbonne yang dijabat sampai meninggalnya. Sebagai pengajar, Hermite menularkan ilmu-ilmunya kepada Emile Picard, Gaston Darboux, Paul Appell, Emile Borel, Paul Painleve dan Henri Poincare.

Berteman dengan Jacobi

Karya Hermite seakan mencerminkan pribadi dirinya yang suka mengajar. Membayangkan bahwa semua perlu memahami apa yang ditulisnya membuat Hermite dapat dipakai sebagai panutan oleh matematikawan lainnya. Surat-menyurat yang dilakukannya dengan hampir semua matematikawan Eropa menunjuk sifat sosial Hermite. Banyak matematikawan abad sembilan belas berhutang dengan karya-karya rintisan Hermite. Jacobi yang saat itu terkenal, dikirimi surat oleh Hermite. Jacobi membalas surat matematikawan muda tidak dikenal ini dengan sopan. “Jangan putus asa dalam menekuni fungsi-fungsi Abelian. Apabila penemuan Anda kebetulan sama dengan karya saya. Anda harus mulai dimana saya sudah menemui kesulitan, dan saya dengan senang hati akan membantu Anda.”

Mendapat dukungan dari Jacobi, Hermite tidak hanya mengirim penemuan-penemuannya tentang fungsi-fungsi Abelian, lewat surat, tetapi juga mengirim empat bundel surat berisi penelitiannya tentang teori bilangan, pada awal tahun 1847. Kedalaman ulasan topik-topik di atas membuat Hermite disebut dengan matematikawan kreatif tingkat wahid. Salah satu surat Hermite yang dikirim ke Jacobi adalah penemuan persamaan-persamaan diferensial yang sesuai dengan fungsi-fungsi Thetadengan menggunakan deret Fourier. Meski Hermite belum lulus, namun pada tahun 1843 memunyai gagasan yang membuat Liouville menemukan theorema pada tahun 1844 yang dikenal dengan theorema Liouville.

Sayangnya surat balasan dari Jacobi baru datang dua tahun kemudian. Diiringi ucapan maaf dan karya-karya Jacobi. Penelitian Jacobi itu banyak memberi inspirasi padanya sehingga penelitian yang dilakukan masih keras.

Hermit dan bilangan transendental

Tidak mau terpaku pada geometri deskriptif yang dibencinya, Hermite mulai menekuni fungsi-fungsi Abelian, dimana pada tahun itu (1842) menjadi topik paling hangat di seluruh Eropa. Seperti sudah disebutkan, Hermite juga membantu Liouville (1809 -1882), seorang matematikawan terkemuka sekaligus editor Journal des Mathematiques. Liouville mengenali bakat matematika Hermite yang disebutnya mirip dengan masa muda Jacobi. Jacobi adalah teman akrab Liouville, kemudian, Hermite diperkenankan untuk berkirim surat dengan Jacobi.

Karya sensasional Hermite dalam bilangan transendental tidak dapat diabaikan. Bilangan yang menyatakan analisis mathematikal  dengan simbol e adalah

            1 + 1/ 1! + 1/ 2! + 1/ 3! + 1 / 4! + …

dimana ! disebut dengan faktorial dan 1! berarti 1, 2! berarti 2 x 1, 3!berarti 3 x 2 x 1 dan seterusnya; bilangan ini adalah “basis” yang disebut dengan sistem logaritma “natural”, dengan prakiraan besaran 2,718281828…. Sering dikatakan tidaklah mungkin memahami alam semesta tanpa e dan л . Dalam kenyataannya bilangan e juga ada di dalam matematika, murni maupun terapan. Penulisan e^x dapat disebut dengan fungsi x, dan hanya fungsi x  yang berlaku terhadap perubahan x yang sama seperti fungsi itu sendiri. Oleh karena itu e^xadalah satu-satunya fungsi yang sama dengan derivatifnya.

Konsep transendental sangatlah sederhana sekaligus sangat penting. Hasil akar persamaan aljabarik dengan koefisien integer rasional (0, ± 1, ± 2,…) disebut dengan bilangan aljabarik. Bilangan √-1, 2,5 adalah bilangan-bilangan aljabarik , karena merupakan hasil dari persamaan x² + 1 = 0, atau 6x - 15 = 0, koefisien 1,1 untuk persamaan pertaman dan koefisien 6, -15 untuk persamaan kedua adalah integer rasional. Semua bilangan “non-aljabarik” disebut dengan bilangan transendental.

Apabila diketahui sembarang bilangan yang disusun berdasarkan hukum tertentu. Pertanyaan selanjutnya apakah dapat ditentukan sebagai bilangan aljabarik atau bilangan transendental. 

Contoh:

            1/10 + 1/10² + 1/10⁶+ 1/10²⁴ + 1/10¹²⁰ + …

Pangkat 1, 2, 6, 24, 120, sesuai dengan pola faktorial yaitu: 2 = 1 x 2, 6 = 1 x 2 x 3, 24 = 1 x 2 x 3 x 4, 120 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5,…, yang deret itu terus menuju “ketakterhinggaan” sesuai dengan hukum yang berlaku. Dalam deret di atas tidak ditemukan akar persamaan aljabarik maupun koefisien-koefisien integer rasional. Dengan mengganti bilangan 10 dengan n maka bentuk deret menjadi:

            1/n + 1/n² + 1/n⁶ + 1/n²⁴ + 1/n¹²⁰ + …

dimana n adalah bilangan riil lebih besar dari 1. Barangkali problem ini lebih sulit dibuktikan seperti halnya e atau л, termasuk atau bukan transendental. Ketika Hermite membuktikan bilangan transendental e pada tahun 1873, dunia matematikal terkejut dengan kehebatan dalam pembuktiannya.

Hubungan antara e, л, -1 dan √-1 dapat direnungkan dalam bentuk:

                                    e^π√-1     = -1

Orang yang dapat menerima misteri “matematika” dengan intuisi tidak perlu melakukan pembuktian lagi.

Dari agnostik menjadi Katholik

Tradisi “mistik” seperti Pythagoras dan Descartes juga dialami oleh Hermite. Sampai umur empat puluh tiga tahun, Hermite adalah seorang agnostis, seperti halnya ilmuwan Perancis lainnya. Tiba-tiba, pada tahun 1856, mendadak jatuh sakit parah. Dalam kondisi sakit ini, dia tidak cocok dengan evangelist atau fanatik seperti Cauchy, yang selalu membujuk anak muda ini agar memunyai hati yang terbuka untuk menerima pandangan-pandangan religius. Dalam keadaan ini, akhirnya, Hermite menganut agama Katholik yang dianggapnya dapat memberi kepuasan batin.

Pandangan mistik Hermite terhadap bilangan tidaklah cukup “parah” seperti Pythagoras. Disebutkan bahwa bilangan-bilangan adalah memunyai eksistensi sendiri dan di luar kendali manusia. Matematikawan, dia berpikir, diijinkan untuk masa sekarang dan masa datang untuk menangkap sekelumit harmoni manusia super yang mengatur realisme dari eksistensi numerikal, seperti jenius dalam bidang etika dan moral yang kadangkala menyebutkan dirinya merupakan cermin kesempurnaan hakiki dari Kerajaan Surga.

Fungsi periodik

Sangatlah alamiah mengajukan pertanyaan: fungsi-fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi untuk satu peubah dengan satu periode, sehingga sin (x + 2л) = sin x, dimana x adalah peubah dan 2л menunjuk periode. Abel dan Jacobi, dengan “membalik” integral elips, menemukan fungsi-fungsi satupeubah dan dua periode, misalnya f(x + p +q) = f(x), dimana p, q adalah periode; Jacobi juga menemukan fungsi-fungsi dua peubah dan empat periode, misal:

            F(x + a + b, y + c + d) = F(x,y)

Dimana a, b, c, d adalah periode. Problem muncul apabila fungsi trigonometri diekspresikan dalam bentuk sin (x/2). Atau sin (x/3), atau dinyatakan secara umum sin (x/n), dimana n adalah sembarang integer, dan bentuk sin x.

Dalam bidang aritmatika, Hermite melakukan investigasi terhadap matematika murni. Apabila Gauss mengenalkan integer kompleks (bilangan dalam bentuk a+ bi, dimana a, b adalah integer rasional dan i adalah √-1) ke dalam aritmatika tingkat tinggi agar hukum bikuadratik timbal-balik (reciprocity) memiliki ekspresi sederhana. Dirichlet dan para pengikut Gauss membahas bentuk-bentuk bikuadratik, dimana integer rasional muncul sebagai peubah-peubah dan koefisien-koefisien digunakan dengan integer kompleks Gaussian. Hermite melewati prosedur itu dan melakukan investigasi terhadap representasi integer-integer dalam apa yang sekarang disebut dengan bentuk-bentuk Hermitian. Sebagai contoh, untuk bentuk dua peubah kompleks x₁, x₂dan dengan tasrif (conjungate) x₁', x₂'bukannya peubah-peubah n adalah:

                        a₁₁x₁ x₁' +  a₁₂ x₁ x₂'  + a₂₁x₂ x₁' + a₂₂x₂ x₂'     

dimana peubah dengan notasi berbeda menyatakan bilangan kompleks yang mentasrifkan (conjungate) bilangan itu sendiri; misal, jika x + iy adalah bilangan kompleks, “tasrifnya” adalah x – iy; dan koefisien a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂dinyatakan dalam bentuk umum a_ij = a_ji' untuk (i,j) = (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) , sehingga a₁₂ dan a₂₁ adalah bentuk (saling) tasrif, dan setiap a₁₁, a₂₂ masing-masing adalah bentuk tasrif (sehingga dinyatakan sebagai bilangan riil). Dapat diketahui bahwa bentuk keseluruhan adalah bilangan riil (tidak ada i).

Masa tua

Perkawinan Hermite bahagia dan memunyai dua anak perempuan, dimana salah satunya menikah dengan Emile Picard, salah satu muridnya. Pensiun dan hidup tenang sambil mengajar dan melakukan penelitian matematika adalah hari-hari akhir Hermite sebelum dia meninggal. Pandangan ke depan tentang matematika adalah realistik: matematikawan menemukan apa yang ada di dalam dunia, dan dalam ide-ide.  Komentar Hadamard, seorang muridnya, rasanya cocok untuk menutup riwayat Hermite yang menyebut, “Hermite mengajar dengan penuh antusiasme terutama terhadap sains” atau Weierstrass yang merenung karena ungkapan Hermite, “Dalam matematika, peran kita lebih menyerupai pelayan daripada seorang majikan” barangkali menunjukkan bahwa warisan Hermite adalah abadi adanya.