Carl Gustav Jacob Jacobi

Matematikawan anak seorang bankir

 

Carl Gustav Jacob Jacobi

(1804 – 1851)

 

Jacobi

Masa kecil Carl Jacobi berasal dari keluarga Jahudi meski pada saat lahir sempat diberi nama ala Perancis, Jacques Simon. Ayahnya, Simon Jacobi, adalah seorang bankir dan keluarganya termasuk keluarga kaya raya. Ibu Jacobi berwarga Lehmann. Jacobi lahir di penghujung tahun 1804 di Postdam, Prussia, Jerman. Anak kedua ini memunyai kakak laki Moritz, adik laki Eduard dan adik perempuan Therese. Moritz, kelak menjadi fisikawan terkenal. Eduard meneruskan profesi sang ayah, menjadi seorang bankir sedang profesi Therese tidak diketahui.

Pendidikan awal Jacobi justru diperoleh dari paman dari pihak ibunya yang mengajar [ilmu] klasik dan matematika sebagai persiapan memasuki Postdam Gymnasium untuk kemudian mendaftar di universitas Berlin. Seperti Gauss, Jacobi memunyai kemampuan menonjol dalam bidang bahasa dan matematika. Seorang guru, Heinrich Bauer, melihat bakat genius matematika anak ini dengan membiarkan Jacobi belajar dan membuktikan theorema-theorema. Tidak lama Jacobi mulai mempelajari karya-karya pendahulunya seperti Euler dan Lagrange tentang aljabar dan kalkulus sampai teori bilangan.

Lulus pada sekolah menengah pada umur 12 tahun, umur yang jauh di bawah ketentuan masuk universitas. Universitas Berlin menetapkan batas umur 16 tahun, sehingga Jacobi harus berada di kelas yang sama sampai awal tahun 1821.  Lulus dengan prestasi terpuji pada bidang bahasa Latin, bahasa Yunani dan sejarah namun mempelajari matematika dipilih sebagai jalan hidup. Masuk universitas dengan pikiran masih bercabang. Seperti Gauss, Jacobi perlu waktu dua tahun untuk berpikir sebelum akhirnya memilih matematika. Saat itu, pendidikan di Jerman masih rendah (baca: Dirichlet), sehingga tidaklah memungkikann mempelajari matematika tingkat tinggi di universitas. Jacobi hanya membaca karya-karya Euler dan matematikawan terkemuka lainnya.

  

Setelah lulus

Akhir tahun 1824, Jacobi lulus dan berniat mengajar matematika, bahasa Yunani dan Latin di sekolah lanjutan, namun kejeniusan semata tidak serta merta dapat mengajar karena dia adalah keturunan Yahudi. Pada tahun 1825, Jacobi baru ditawari mengajar  di Joachimsthalsche Gymnasium, sekolah lanjutan terkemuka di Berlin.

Menerima posisi ini sambil membuat disertasi doktoral di universitas Berlin. Jacobi menyerahkan makalah kepada Academy of Science di Berlin pada tahun 1825. Juri memandang bahwa topik yang ditulis tidak layak untuk diterbitkan dan makalah itu tidak pernah diterbitkan oleh Academy of Science.

Pada tahun ini pula Jacobi mengubah keyakinannya dari Yahudi menjadi umat Kristiani sehingga peluang untuk mengajar di universitas Berlin terbuka lebar. Atas anjuran teman, dan melihat prospek di Berlin tidaklah terlalu menjanjikan, Jacobi pindah menjadi pengajar di Universitas Konigsberg sejak Mei 1826. Di sini Jacobi bergabung dengan Franz Neumann yang menerima gelar doktor dari universitas Berlin pada tahun 1825 dan Bessel yang menjadi profesor astronomi di Konigsberg.

Sebelum sampai di Konigsberg, Jacobi menemukan teori bilangan. Menulis surat kepada Gauss memberitahu tentang residu-residu kubik yang diperolehnya, yang terinspirasi oleh karya-karya Gauss tentang residu-residu kuadratik dan bikuadratik. Gauss terkesan dan mengirim surat kepada Bessel untuk minta informasi lebih rinci tentang Jacobi.

 

Seiring dan sejalan, Abel dan Jacobi

Umur Abel dua tahun lebih tua dari Jacobi. Tanpa pernah mengetahui bahwa Abel sudah berupaya memecahkan persamaan pangkat lima (quintik). Lewat  persamaan x⁵ – 10q²x = p, Jacobi dengan keyakinan penuh mencari solusi untuk persamaan ini, sebagai langkah awal untuk mencari solusi untuk persamaan pangkat sepuluh. Penelitian tentang quintik ini dipicu setelah membaca buku Euler, Introductio in Analysin Infinitorum. Muncul idenya untuk menggunakan radikal-radikal guna menyelesaikan persamaan di atas.

Meskipun upaya ini tidak membuahkan hasil, tetapi dipakai sebagai langkah awal memasuki dunia matematika. Sama halnya dengan Abel, Jacobi juga tidak dapat menemukan solusi persamaan ini secara aljabar.  Kekeliruan atau kurang imajinasi, atau apapun istilahnya, dalam hal ini Jacobi berbeda dengan Abel.  Menyatakan menyerah dan beralih menekuni bidang lain. 

Sewaktu Abel menulis surat kepada Holmboe pada tahun 1823, Jacobi sedang mencoba “membedah” fungsi-fungsi elips. Disebutkannya bahwa dengan membalik fungsi-fungsi elips, saya membuktikan sesuatu yang tampaknya tidak mungkin. Makalah kecil, berisi topik tersebut, juga dikirim kepada Degen untuk dipelajari.

Jacobi, dalam tempo yang hampir bersamaan, menulis surat kepada pamannya, Lehmann tentang penelitian yang sedang dikerjakannya. “Gabungan karya –karya Euler, Lagrange dan Laplace ternyata menyembunyikan sesuatu yang tampak dari permukaan seperti hal tidak berguna.” Abel mengawali namun Jacobi tanpa menyadari ada perlombaan, ternyata mampu mengejar. Karya besar Jacobi merupakan obyek penelitian Abel tentang fungsi-fungsi elips.

Karya Abel tertimbun di meja kerja Cauchy (baca: Abel), sedangkan makalah Jacobi, pada Agustus 1827, dikirim langsung ke Legendre yang sangat menguasai topik elips.

 

Fungsi elips

Hampir selama 40 tahun Legendre mempelajari integral eliptik sendirian. Mampu menelorkan formula-formula, beberapa diantaranya menyerupai keterhubungan terbalik antara fungsi-fungsi trigonometri, bahkan integral eliptik di bawah ini.   

 

            ∫           dx                   

              √(1 - K²x²)(1 - x²)

 

Dalam kasus “istimewa” apabila K = 0:

 

           ∫        dx     = arcsin x     

              √(1 - x²)

 

Lewat “sentuhan” Gauss, setelah dipicu oleh kiprah dua anak muda (Abel dan Jacobi) persamaan diubah menjadi:

 

            u =  ∫                dx        

                0→v    √(1 - x²)

 

u adalah arcsin *), dimana u diekspresikan sebagai fungsi dari variabel bebas (independent) v dan x adalah variabel pembantu (dummy) dalam proses integral.

 

                        u = cosec v

 

Dengan memilih u sebagai variabel bebas. Dalam kasus v = f(u) atau dalam bahasa trigonometri, v = sin u. Fungsi v = sin u lebih dapat dimanipulasi dengan mengubah u = cosec v, tidak memunyai periodik.

Dengan membalik (invers) keterhubungan fungsional antara u dan v, dapat diperoleh fungsi yang lebih bermanfaat dan indah, v = f(u). Fungsi ini lebih lazim ditulis dengan v = sin u dan dibaca “v adalah amplitudu sinus dari u,” dikenal sebagai fungsi elips.

 

Bangkrut

Tahun 1832, ayah Jacobi meninggal. Selama ini Jacobi dinina-bobokan, tidak perlu bekerja. Kejayaan ini ternyata hanya berumur 8 tahun, dan pada tahun 1840, keberuntungan keluarga “melayang” habis sudah. Kebangkrutan keluarga Jacobi, diawasi oleh Gauss yang kuatir bahwa aktivitas [matematika] Jacobi akan terganggu. Gauss melihat bahwa karya-karya Jacobi melebihi karya-karyanya sendiri pada umur sebaya. Akhir tahun 1839, Jacobi sempat menemui Gauss secara pribadi yaitu ketika dalam penjalanan pulang - berobat karena terlalu banyak bekerja – dari Marienbad menuju Konigsberg. Ternyata kebangkrutan itu, seperti yang diungkapkan Bassel kepada Gauss, tidak mempengaruhi karir matematika Jacobi dan dia tetap bekerja seperti biasa.

Tahun 1842, Jacobi dan Bessel menghadiri pertemuan dengan British Association di Manchester, dimana dalam kesempatan ini mereka bertemu dengan Hamilton. Pada saat ini, Jacobi diberi kesempatan untuk melanjutkan penelitian matematika Hamilton, yang serta merta disambut dengan senang hati. Sekembalinya dari lawatan itu, Jacobi jatuh sakit karena kelelahan bekerja. Kemajuan sains di Jerman sepenuhnya berada di tangan pangeran-pangeran dan raja-raja kecil dengan wilayah tidak terlalu luas. Mereka ini akhirnya bergabung untuk membentuk kekaisaran Jerman. Penyandang dana Jacobi adalah raja Prussia, yang menjunjung tinggi hasil-hasil riset Jacobi yang diserahkan kepada kerajaan. Ketika Jacobi jatuh sakit, raja membiayai biaya berobat Jacobi ke Italia. Selama lima bulan, Jacobi tinggal di Roma dan Naples bersama Borchardt (baca: Weierstrass) dan Dirichlet (baca: Dirichlet) dan baru kembali ke Berlin pada bulan Juni 1844. Raja terus membiayai Jacobi – membuat iri orang lain - sepanjang belum mampu mengajar, sekaligus memberi tunjangan untuk hidup sehari-hari. 

 

Pengajar dan Peneliti

Tahun1833, kakak Jacobi, Moritz bergabung dengannya di Konigsberg sebagai seorang arsitek. Selama dua tahun, ternyata minat Moritz berubah dengan mendalami fisika sebelum meninggalkan Konigberg pada tahun 1835 karena ditunjuk sebagai dekan rekayasa sipil di Dorpat. Tahun  1834, Jacobi menerima makalah Kummer yang saat itu masih menjadi guru di Gymnasium di Leignitz. Bakat matematika Kummer terpantau di sini. Kummer membuat terobosan dengan menjabarkan persamaan-persamaan diferensial pangkat tiga yang membingungkan Jacobi seperti yang terungkap dalam suratnya kepada Moritz,  “Kummer mampu menyelesaikan problem-problem di luar kemampuannya.”

Tahun 1834, Jacobi membuktikan bahwa apabila fungsi dengan nilai tunggal dari suatu variabel memunyai dua periodik karena nisbah periode itu adalah imajiner. Bidang ini kemudian dilanjutkan oleh Cauchy dan Liouville. Penelitian tentang persamaan-persamaan diferensial parsial pangkat satu dan menerapkan untuk persamaan-persamaan diferensial dinamik adalah kiprah Jacobi. Penelian tentang determinan dan mempelajari determinan fungsional sekarang dikenal dengan nama Jacobian. Dalam perjalanan pulang, setelah pertemuan di Manchester, mereka berdua pulang lewat Paris, dimana Jacobi menjadi dosen tamu pada Academie des Sciences.

 

Menjadi politisi

Tahun 1848, pengangguran dan gagal panen yang terjadi di Jerman memicu pergolakan. Ada berita bahwa Louis-Philippe diturun-tahtakan di Paris membuat kaum sosialis dan kaum republikan menentang monarki. Entah karena diberi nasihat oleh dokter atau mendengar gerutu dokter sewaktu dirawat di rumah sakit, Jacobi mulai mencoba memasuki dunia politik.

Bujukan teman-teman di universitas yang pernah mendukungnya juga memunyai andil terjunnya Jacobi ke dunia politik. Ketika terjadi pergolakan demokrasi pada tahun 1848, Jacobi ke luar dari kantornya dan tampil di mimbar. Sekelompok orang mendukung Jacobi untuk menjadi kandidat pada pemilu tahun 1848. Parlemen tidak pernah dilibatkan, sehingga pencalonan Jacobi berakhir sia-sia belaka, bahkan balik menyebut bahwa Jacobi – karena diberi tunjangan raja – adalah tahanan luar raja. Jacobi tidak terpilih.

Raja gusar karena karena orang yang selama ini diberi tunjangan selama sakit dan diberi posisi di Konigsberg, justru “menggigit” tuannya. Tunjangan dihentikan dan Jacobi mengalami kesulitan memberi makan istri dan tujuh anak yang masih kecil-kecil. Pertengahan tahun 1849, revolusi dapat ditangkal. Seorang teman,  menghidupi anak dan istrinya sedangkan Jacobi tinggal di hotel kumuh guna meneruskan penelitian. Permohonan agar raja memberi tunjangan: ditolak. Universitas Vienna yang bersimpati akhirnya mengutus Littrow, teman Abel, bersama sejawat raja, Alexander van Humboldt, untuk membicarakan kembali  nasib Jacobi. Dengan alasan agar Jacobi tidak pindah ke negara lain dan berkiprah di sana. Akhirnya, raja bersedia memberi tunjangan kepada Jacobi kembali namun dengan syarat: Jacobi tetap tinggal di Berlin dan tidak terlibat dengan kegiatan politik lagi.  Istri dan anaknya tetap tinggal di Gotha.

Bertemu Matematikawan Perancis

Berangkat ke Italia bersama Borchardt dan Dirichlet, setelah menyempatkan diri menghadiri pertemuan matematika di Lucca, sebelum bergabung dengan Schlafli dan Steiner. Schlafli bertindak sebagai penterjemah. Selama hampir setahun, Jacobi berada di Italia.

Pulang dari Italia, kesehatan Jacobi mulai membaik, sehingga mampu melakukan penelitian dan membuat makalah lagi. Ketika di Roma, Jacobi menyempatkan diri melihat manuskrip Diophantus, Arithmetica, yang disimpan di Vatican. Perubahan cuaca yang drastis, antara Roma dengan Konigsberg membuat kesehatan Jacobi yang tidak terlalu prima, memburuk. Mengetahui hal ini Raja [Friedrich Wilhelm IV] merekomendasikan agar dia pindah ke Berlin. Tunjangan Jacobi ditingkatkan karena biaya hidup dan biaya pengobatan di Berlin lebih tinggi.

Tahun 1829, Jacobi bertemu dengan Legendre dan matematikawan handal Perancis lain seperti Fourier dan Poisson ketika berlibur ke Paris. Sebelum berangkat masih sempat mampir ke Gottingen untuk menemui Gauss. Karya Jacobi tentang fungsi-fungsi elips menarik hati Legendre. Makalah Fundamenta Nova Theoria Functionum Ellipticarum yang diterbitkan tahun 1829, bersama dengan lampiran-lampirannya memberi kontribusi mendasar bagi teori fungsi-fungsi elips. Jacobi tidak sendirian. Abel membuat kiprah yang sama. Karya Jacobi bersama dengan karya Abel tentang fungsi-fungsi elips mendapat penghargaan dari Akademi Paris pada tahun 1830.

 

Beda pendapat dengan Fourier

Awalnya Fourier memberi komentar bahwa, “Adalah menghamburkan waktu belaka, Abel dan Jacobi menekuni fungsi-fungsi elips sedangkan masih banyak problem dalam konduksi-panas yang belum dapat dipecahkan.” 

Kritik ini ditanggapi Jacobi dengan menyebut, “Opini Fourier bahwa matematika adalah milik umum dan memberi penjelasan kepada fenomana alam, namun filsuf seperti dia juga harus memahami bahwa tujuan akhir dari sains adalah penghargaan bagi pikiran manusia, dan mempertanyakan bilangan sama halnya dengan mempertanyakan sistem alam semesta.”

Sebagian pembaca barangkali menduga bahwa Jacobi meninggal karena banyak kerja atau diabetes yang diidapnya. Jawaban di atas salah, karena Jacobi meninggal terserang penyakit cacar. Pada liburan universitas musim panas tahun 1850, Jacobi pergi menengok  istri dan anak-anaknya di Gotha. Awal tahun 1851, Jacobi terkena flu, kemudian tertular penyakit cacar. Dengan kondisi tubuh yang masih belum sehat ini, ternyata cacar berakibat fatal. Jacobi meninggal dunia pada tanggal 18 Februari 1851.

  

*) Fungsi trigonometri Sin (sinus), Cos (cosinus) dan Tg (tangent) masing-masing memunyai kebalikan (invers) yang dapat disebut arcsin, arccos dan arctg namun lebih lazim disebut dengan cosec (cosecant), sec (secant) dan ctg (cotangent)