Leopold Kronecker

Bankir sukses sekaligus matematikawan keras kepala

 

Leopold Kronecker

1823 - 1891

 

Kronecker

Riwayat Kronecker mengalami masa kecil yang nyaman. Anak pedagang Yahudi kaya- raya bernama Isodor Kronecker ini lahir di Liegnitz, Prusia (sekarang Legnica, Polandia). Ibu Kronecker, Johanna Prausnitzer, juga berasal dari keluarga kaya.  Kedua orang tuanya memanggil pembimbing-pembimbing ke rumah untuk mengajar kedua anaknya sebelum masuk Gymnasium di Liegnitz. Memunyai seorang adik bernama Hugo, yang berbeda tujuh belas tahun dengan Kronecker,   kelak menjadi seorang psikolog dan profesor terkemuka di Baine.

 

Di Gymnasium, Kronecker diajar Werner, pembantu rektor, yang mengajar filsafat dan theologi, dimana hal ini memberi pengaruh besar bagi Kronecker karena memunyai pandangan theologi Kristen yang agak liberal. Pemikiran bebas ini membuat Kronecker penuh antusias dengan pemikiran bebas.

Pengajar lain yang memberi pengaruh besar bagi Kronecker adalah Kummer. Lewat pengajaran Kummer yang menarik membuat Kronecker tertarik menekuni matematika. Setelah mengenali bakat matematika Kronecker, Kummer  mendorongnya agar melakukan penelitian matematika. Keduanya kemudian menjalin persahabatan. Meskipun keturunan Yahudi dan mengikuti (aliran) kepercayaannya sendiri, namun kedua orang tua Kronecker memberi kebebasan beragama baginya. Namun Kronecker baru berubah menjadi pemeluk agama Kristen menjelang wafatnya.   

 

Belajar dari matematikawan terkemuka

Tahun 1841 masuk ke universitas Berlin dan belajar dibawah bimbingan Diriclet dan Steiner. Tidak mau hanya belajar matematika, Kronecker juga belajar astronomi, meteorologi dan kimia. Punya minat pada filsafat karena mempelajari karya-karya Descartes, Leibniz, Kant, Spinoza dan Hegel. Astronomi ternyata menarik hatinya sehingga tahun 1843 pindah ke universitas Bonn dan tahun 1844 pindah ke universitas Breslau. Alasan dia pergi ke Breslau karena ingin memperdalam matematika dan Kummer ditugaskan untuk memimpin universitas Breslau sejak 1842.  Hampir setahun di Breslau sebelum kembali ke Berlin pada awal tahun 1845 untuk membuat tesis tentang teori bilangan aljabarik di bawah pengawasan Dirichlet. Tesis berjudul, On Complex Units, diserahkan pada tanggal 30 Juli 1845 sebelum menempuh ujian lisan pada Agustus 1845. Dikatakan oleh Dirichlet bahwa Kronecker sangat menguasai matematika. Banyak rekan Kronecker yang terkejut mendengar bahwa ujian lisannya meluas termasuk teori probabilitas yang diaplikasikan pada observasi astronomikal, teori integral definite, deret dan persamaan diferensial termasuk bahasa Yunani dan sejarah filsafat.

Jacobi yang sedang sakit meninggalkan jabatannya di Konigsberg dan pulang ke Berlin. Pada saat bersamaan, Eisenstein yang sakit, mengajar di Berlin dan Kronecker mendapat bimbingan dari kedua matematikawan handal ini ditambah dengan Steiner. Tidaklah mengherankan apabila minat dan arah Kronecker banyak dipengaruhi oleh pemikiran Jacobi dan Eisenstein.

 

 

Terkena ‘candu’ matematika

Meski tampaknya Kronecker ingin menekuni karir akademis, ternyata Kronecker meninggalkan Berlin untuk mengurus bisnis keluarga. Membantu mengelola bank milik paman, saudara dari ibunya. Menikah dengan anak pamannya yang bernama Fanny Prausnitzet dan memunyai enam orang anak. Perkawinan mereka sangat bahagia sehingga begitu istrinya meninggal, beberapa bulan kemudian Kronecker juga meninggal. Pamannya meninggal dengan meninggalkan warisan tanah yang sangat luas. Sambil mengelola tanah milik keluarga, Kronecker kembali mengeluti matematika, namun hanya untuk kesenangan belaka. Kronecker sukses mengelola lahan dan bank warisan.

Berbeda dengan Weierstrass yang gemar main anggar, Kronecker adalah perenang handal dan pendaki gunung yang piawai. Bersama istrinya, Kronecker sering mendaki gunung.

Kegemarannya akan matematika membuat dia pergi meninggalkan purinya di Liegnitz pada tahun 1855 untuk kembali ke Berlin. Tidak punya ambisi untuk jabatan dalam universitas, namun hanya ingin terlibat dalam kehidupan matematika di universitas, melakukan penelitian sambil berinteraksi dengan matematikawan lainnya. 

Tahun yang sama Kummer datang ke Berlin untuk mengisi posisi yang ditinggal Dirichlet yang pergi ke Gottingen. Borchardt yang mengajar di Berlin sejak 1848 merangkap sebagai editor Jurnal Crelle, meninggal dunia. Tahun berikutnya Weierstrass datang ke Berlin, hampir bersamaan dengan kedatangan Kronecker. Sebelumnya, tim pengajar di Berlin, Kummer, Borchardt, Weierstrass dan Kronecker adalah empat pilar kuat yang menopang universitas Berlin.

 

Teori bilangan Kronecker (1)

Disertasi yang membuat Kronecker meraih gelar Ph.D. di universitas Berlin pada tahun 1845 adalah membahas tentang teori bilangan yang terinspirasi oleh karya-karya Kummer tentang teori bilangan dan bilangan aljabarik tertentu.

Diketahui bilangan 1, 2, 3, … yang disebut dengan integer rasional (positif). Jika madalah integer rasional, dan merupakan hasil akar dari persamaan aljabar tingkat satu, dimana memunyai koefisien-koefisien integer rasional, misal x– m = 0.

Kemudian, dibuatlah generalisasi konsep integer bagi “bilangan-bilangan” yang didefinisikan sebagai hasil akan persamaan-persamaan aljabarik. Apabila r adalah akar dari suatu persamaan:

 

                        xⁿ + a₁x^n-1+… + a_n-1x + a_n = 0,

 

dimana semua a adalah integer rasional (positif maupun negatif) dan bilamana r tidak berlaku pada semua persamaan dengan pangkat kurang dari n, semua koefien dari integer rasional yang memunyai koefisien 1 (seperti telihat pada persamaan di atas, disebut dengan koefisien pangkat tinggi, xⁿ, dari persamaan sama dengan 1), kemudian rdisebut integer aljabarik untuk pangkat n. sebagai contoh, 1 + √-5 adalah integer aljabarik pangkat dua, karena merupakan hasil akar dari persamaan  x² – 2x + 6 = 0, dan bukanlah hasil akar persamaan di bawah persamaan pangkat dua dengan koefisien yang sudah tertentu. Kenyataannya 1 + √-5 adalah hasil akar dari x – (1+√-5 ) = 0, dan koefisien terakhir, -(1+ √-5), yang bukan merupakan integer rasional. Jika ½(1+ √-5) – karena koefisien tidak sama dengan 1, disebut dengan bilangan aljabarik tingkat 2, tetapi bukan merupakan integer aljabarik, dan semua itu adalah hasil akar dari persamaan 2x² – 2x + 3 = 0.

 

Mau Menang Sendiri

Kronecker tidak memunyai jabatan di universitas, juga tidak mengajar maupun digaji oleh pihak universitas, namun lebih banyak aktif melakukan penelitian dan menerbitkan banyak karya-karyanya pada masa terjadi suksesi cepat di atas. Karyanya menyangkut teori bilangan, fungsi-fungsi elips dan aljabar, dan yang paling penting, Kronecker berusaha menggabungkan ketiga topik di atas. Tahun 1860, Kummer mengusulkan agar Kronecker memimpin Akademi Berlin dan proposal ini didukung oleh Borchardt dan Weierstrass sehingga awal tahun 1861, Kronecker memimpin Akademi Berlin.  

Sebagai anggota Akademi Berlin, Kronecker berhak mengajar di universitas. Meskipun Kronecker tidak digaji oleh pihak universitas atau organisasi lain yang sejenis, namun Kummer menyarankan agar ilmu Kronecker ditularkan dengan cara mengajar di universitas. Akhir tahun 1862, Kronecker mulai mengajar dengan topik: teori bilangan, teori persamaan, teori determinan, dan teori integral. Menjadi dosen populer di Akademi sehingga meskipun ada tawaran menjadi petinggi di Gottingen pada tahun 1868, ditolaknya. Dapat membina hubungan baik dengan rekan-rekan di Berlin dan dimanapun. Namun tidak lama kemudian hubungan itu memburuk. Penyebab utama bukan karakter namun lebih kepada [prinsip] fungsi-fungsi elips, teori persamaan-persamaan aljabarik, dan bilangan-bilangan aljabarik. Kronecker mempercayai bahwa matematika hanya berhubungan dengan bilangan-bilangan terbatas (finite) dan dengan operasi-operasi bilangan terbatas pula.

 

“Tukang” sensor makalah

Kronecker adalah orang yang pertama kali meragukan pembuktian-pembuktian eksistensi non-konstruktif. Awal tahun 1870, Kronecker menentang keberadaan bilangan-bilangan irrasional, limit atas dan limit bawah, theorema Bolzano-Weierstrass karena dianggapnya bukan hal yang konstruktif, seperti yang dikemukannya lewat kutipan di atas. Akibatnya, filsafat matematika Kronecker menganggap tidak pernah mengenal bilangan transedental pula. Pandangan selalu merasa ragu ini membuat hubungannya dengan matematikawan lain menjadi memburuk.

Tahun 1870, Heine menerbitkan makalah lewat Jurnal Crelle, Deret trigonometrik (On trigonometric Series), namun Kronecker membujuk Heine untuk mengurungkan niatnya dan menarik kembali makalah itu. Tahun 1877, kembali untuk melarang makalah Cantor untuk dimuat pada jurnal Crelle, bukan karena sentimen pribadi (baca: Cantor) namun dipercayai bahwa makalah Cantor tidak ada manfaatnya, karena obyek-obyek matematika yang diteliti oleh Cantor tidak memunyai eksistensi.

Posisi Kronecker sebagai staf penyunting jurnal Crelle yang memungkinkan semua itu terjadi, namun setelah Borchardt meninggal pada tahun 1880 dan Kronecker mengambil alih sepenuhnya Jurnal Crelle sebagai penyunting dan pengaruhnya bagi makalah yang layak atau tidak layak terbit makin besar.

 

Teori bilangan Kronecker (2)

Masih belum puas dengan kedalam pemikiran Kronecker. Konsep lain, tentang bidang bilangan aljabarik untuk tingkat (degree) n diperkenalkan oleh Kronecker. Apabila r adalah bilangan aljabarik pangkat n, maka totalitas dari semua ekspresi dapat dibangun dari r dengan melakukan perjumlahan, perkurangan, perkalian dan pembagian (dibagi dengan nol tidak diperkenankan karena tidak didifinisikan), disebut dengan bidang bilangan aljabarik dibentuk oleh r, yang diberi notasi F[r].

Sebagai contoh dari bilangan r, kita dapatkan r + r atau 2r; atau 2r/r atau 2, 2r – r atau r; 2r x r atau 2r², dan seterusnya. Tingkatan F[r] adalah n. Dapat dibuktikan bahwa setiap anggota F[r] termasuk dalam bentuk c₀r^n-1+ c₁r^n-2 + … + c_n-1, dimana cadalah bilangan rasional, dan setiap anggota F[r] adalah bilangan aljabarik dari tingkatan lebih besar daripada n (dalam kenyataannya tingkatan adalah sesuatu  yang habis dibagi n). Beberapa, namun tidak semua, bilangan-bilangan aljabarik dalam F[r] adalah integer-integer aljabarik.

Masih belum puas, Kronecker memberi tambahan argumen. Misalkan bilangan rasional, m, dapat dibagi dengan bilangan lain, misal, d. Jika kita dapat menemukan integer rasional, q, dalam perkalian m = q x d; baik qmaupun d disebut pembagi dari m. Contoh, 3 adalah pembagi dari 6 sebab 6 = 2 x 3; namun 5 bukan pembagi karena tidak ada integer rasional q dalam 6 = q x 5.

Rupanya Kronecker mengalami kesulitan untuk memilah antara integer rasional dengan integer aljabarik tingkatan lebih dari satu.

Suatu integer aljabarik dibedakan dengan integer yang dapat dibagi, dan disebut dengan bilangan “tidak dapat dibagi lagi” (irreducible). Integer aljabarik yang tidak dapat dibagi memunyai karakteristik jika dibagi dengan dua integer aljabarik, kemudian dibagi dengan suatu faktor yang disebut dengan integer prima tidak dapat dibagi. Semua bilangan prima tidak dapat dibagi lagi, namun tidak semua bilangan yang tidak dapat dibagi adalah bilangan prima karena dalam beberapa bidang adalah bilangan aljabarik. Sebagai contoh adalah F[-5]. Dalam aritmatik yang lazim 1, 2, 3, … tidak dapat dibagi lagi karena merupakan bilangan prima.  

Dari contoh di atas, dalam bidang F[√-5] dapat diurai menjadi:

 

            6 = 2 x 3 = (1 + √-5) x (1 - √-5)

 

Setiap 2, 3, 1 + √-5, 1 - √-5 adalah bilangan prima dalam bidang ini (sangat memukau), sehingga 6, dalam tingkatan ini, tidaklah unik karena dapat diurai menjadi beberapa (karakteristik) bilangan prima. 

        

Layaknya selebriti

Seminar matematikal yang secara rutin diselenggarakan mulai tahun 1861 atas prakarsa Kummer dan Weierstrass, memunyai asisten direktur Kronecker, setelah Kummer pensiun pada tahun 1833. Hal ini membuah pengaruh Kronecker di Berlin makin kuat. Ketenaran Kronecker semakin membumbung setelah dia memperoleh penghargaan dengan terpilihnya dia menjadi anggota mancanegara di Royal Society of London pada tahun 1884. Rupanya penghargaan ini membuat pengaruhnya di Berlin makin kuat. Sering melakukan perjalanan ke mancanegara, terutama ke Inggris, Perancis dan Skotlandia dan menjalin kerjasama pertukaran mahasiswa matematika negara-negara lain dengan Jerman. Pandangan matematika Kronecker dianggap “aneh” sudah banyak diketahui rekan-rekannya pada kurun waktu 1870 – 1880, namun pada tahun 1886, Kronecker membuat penyataan publik. Menentang teori bilangan irrasional dari Dedekind, Cantor dan Heine dengan mengemukakan alasan bahwa, “Perlu asumsi-asumsi yang jelas untuk menunjukkan penerapan deret-deret apakah itu deret terbatas maupun deret ketakterhinggaan.” Apabila mereka tidak puas, Kronecker mengembangkan teori himpunan rekaannya.  

Pada tahun 1882, Lindemann dapat membuktikan bahwa л (pi) adalah bilangan transendental, dan dalam kuliahnya pada tahun 1886 menyatakan bahwa pembuktian yang dilakukan Lindemann sangat indah, namun sekali lagi dikatakan bahwa dia membuktikan sesuatu yang tidak pernah ada. Kronecker selalu konsisten dengan alasan-alasan dan pandangan-pandangan yang dikemukakannya, namun bagi matematikawan lain hal ini dianggap bahwa Kronecker ingin mengubah jalur matematika di masa mendatang lewat penelitian yang dilakukannya. Tidak dapat memilah antara perbedaan pendapat dengan permusuhan pribadi, Kronecker, akhirnya, menyerang Weierstrass lewat analisis kebanggaannya. 

 

Konflik dengan Weierstass

Kronecker tidak memunyai posisi di Berlin sampai Kummer pensiun pada tahun 1883, dan dia ditunjuk untuk menggantikannya. Namun pada tahun 1888, Weierstrass merasa bahwa dia tidak dapat lagi bekerjasama dengan Kronecker dan memutuskan untuk tinggal di Swiss. Namun rencana ini, setelah dipikir ulang, dibatalkan karena menyadari bahwa dengan kepergiannya, posisi Kronecker menjadi makin kuat bahkan ketika kelak dia harus menunjuk pengganti, sehingga Weierstrass memutuskan untuk tetap di Berlin.

Schwarz, dengan bercanda,  sering menyebut perseteruan ini sebagai si kecil lawan di besar. Weierstrass berperawakan tinggi – beda lima sampai enam inci - dan besar sedangkan Kronecker pendek. Kronecker tidak pernah menanggapi kelakar ini, juga tidak mau berurusan dengan Schwarz (murid Weierstrass sekaligus menantu Kummer). Konflik soal pandangan matematika diawali oleh hal seherhana, hasil dari √2 – awal seperti Pythagoras. Weierstrass dan lainnya percaya bahwa √2 adalah komprehensif dan dapat menangani dirinya sendiri. Kronecker menyangkal bahwa hasil √2 “eksis”, dan menyatakan bahwa sangatlah sulit membuat argumen yang konsisten dengan konstruksi yang dibuat Weierstrass untuk bilangan akar dan bilangan irrasional lainnya.

Pada masa ini Weierstrass sudah berumur tujuh puluh tahun dan kondisi kesehatannya memburuk, dan “serangan” Kronecker ini bukan hanya menghantam analisis  namun juga mengancam keberadaan semua integer positif dalam matematika.  Geometri sejak Descartes berkecimpung dengan analisis untuk aplikasi dalam pasangan, kembar tiga,… bilangan riil (“bilangan-bilangan” yang berkaitan dengan jarak atau untuk mengukur panjang garis lurus dari titik tertentu dari garis tersebut). Pendapat Kronecker tentang integer negatif, misal – 2, dikemukakan tidak pernah muncul dalam matematika rekaannya. Bilangan irrasional yang timbul dari persamaan x² - 2 = 0, sebagai contoh, memunyai hasil akar yang tidak ada artinya. Dilanjutkan, bahwa teori bilangan dan bilangan aljabarik, dapat dibentuk menurut keinginan kita. Untuk menghilangkan √-1, dapat diberi lambang sesuka kita, misal huruf i, dan pada polinomial yang terdapat huruf i atau huruf-huruf lain, seperti x, y, z , …kemudian polinomial itu dimanipulasi seperti dalam aljabar dasar, perlakukan iseperti huruf-huruf lainnya, dapat langkah terakhir, sampai semua polinomial yang mengandung i dibagi dengan x² + 1 dan segala  sisanya dibuang.

 

Masa tua

Sejak masih sekolah di Gymnasium, Kronecker sangat terpengaruh oleh pandangan filfasat dan theologi dari Werner. Pemikiran Werner yang membiarkan orang berpikiran bebas dalam hal theologi membuat Kronecker tidak menganut keyakinan Kristen sampai meninggalnya, namun agak mengherankan apabila mengemukakan kutipan di atas.

Jangan langsung menyimpulkan – setelah membaca uraian di atas – bahwa pandangan matematika Kronecker sama seperti orangnya, eksentrik. Pandangan dan pemikiran matematika Kronecker memang memunyai tendensi “menyerang” orang lain, namun dalam hubungan pribadi dengan Weierstrass, sebagai contoh, Kronecker tidak mengalami masalah.  Pemikiran matematika Kronecker kelak dikembangkan oleh Poincare dan Brouwer, yang lebih menekankan pada intuisi. Memang, “perang” tak berkesudahan antara intuisionis dan formalis yang mengandalkan logika selalu terjadi.

Istri Kronecker yang mengalami cedera karena insiden dalam pendakian gunung meninggal pada tanggal 23 Agustus 1891. Ditinggal istrinya, rupanya membuat Kronecker kesepian, beberapa bulan kemudian Kronecker meninggal yaitu pada bulan Desember 1891 setelah mengalami beberapa waktu menderita sakit pada tenggorokan.