Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

(1881 – 1966)

 

Brouwer

Riwayat Luitzen Egbertus Jan Brouwer yang lebih sering ditulis dengan singkatan L.E.J. Brouwer lahir di sebuah kota di Overschie (sejak 1941 kota ini termasuk wilayah Rotterdam), Belanda. Di kalangan teman-temannya, Brouwer sering dipanggil dengan nama “Bertus.” Pada tahun 1897, Brouwer mengikuti kuliah di universitas Amsterdam untuk belajar matematika dan fisika. Salah seorang dosennya, Diederik Korteweg, dosen matematika, ini kelak memberi pengaruh besar bagi dirinya. Korteweg terkenal karena mengemukakan suatu persamaan yang disebut persamaan Korteweg – de Vries. Dosen lain yang mempengaruhinya adalah Gerrit Mannoury, dosen filsafat.

 

Tahun 1904, memperoleh gelar MA dalam bidang matematika. Karya pertama adalah rotasi pada ruang empat dimensi di bawah bimbingan Korteweg. Pada tahun yang sama, Brouwer menikah dengan Lize de Holl dan pindah ke Blaricum, sebuah kota kecil dekat Amsterdam sampai akhir hayatnya.

Karakteristik intuisionisme Brouwer

Dasarnya adalah filsafat dalam pikiran, dimana pemikiran ini banyak dipengaruhi oleh pandangan Kant dan Schopenhauer. Matematika, menurut Brouwer, adalah aktivitas berpikir secara bebas namun eksak, suatu aktivitas yang ditemukan dari intuisi pada suatu saat tertentu. Tidak ada realisme terhadap obyek-obyek dan tidak ada bahasa yang mampu menjembatani di sini. Ditambahkannya bahwa tidak ada penentu kebenaran matamatikal di luar aktivitas berpikir, proposisi yang hanya berlaku setika subyek sudah dibuktikan kebenarannya (dibawa  ke luar dari kerangka pemikiran); singkat kata Brouwer menyatakan (dalam kalimat negatif) bahwa “Tidak ada kebenaran-kebenaran tanpa dilakukan pembuktian” (there are no non-experienced truths).

Brouwer konsisten dengan falsafahnya. Hal ini dinyatakan apalah matematika perlu dibenahi agar kompartible atau tidak-kompartible dengan matematika klasik adalah pertanyaan yang kurang penting lagi, dan tidak perlu dijawab. Pandangannya terhadap matematika tradisional, dia menganggap dirinya hanya sekedar menjadi seorang tukang revisi. Disimpulkan, dimana artimatika intusionistik adalah bagian (sub-sistem) dari  aritmatika klasik, namun hal ini tidak berlaku untuk analisis.

Untuk analisis: tidak semua analisis klasikal diterima atau dipahami secara intusionistikal, tetapi tidak ada analisis intusionistik secara klasik diterima. Brouwer mengambil langkah ini dengan segala konsekuensinya dengan  sepenuh hati. Bukan berarti pandangan Brouwer ini tidak ada yang mendukung. Di luar negaranya, Belanda, pandangan ini didukung oleh Hermann Weyl.

 

Karya-karya utama
Karya utama Brouwer adalah pada teori topologi yang dirintisnya antara tahun 1909 sampai 1913. Menemukan karakteristik pemetaan topologikal dari bidang Kartesian dan theorema-theorema bilangan pada titik tertentu (number of fixed point theorems). Pemikiran Brouwer sangat berbeda dengan David Hilbert, penganut formalis dan Bertrand Russell yang menganut aliran logika.

Sebelumnya, pada tahun 1905, mengarang buku kecil Life, Art and Mysticism berisi bukan pengembangan dasar-dasar matematika, namun merupakan kunci untuk mengembangkan dasar-dasar matematika yang kelak terangkum dalam disertasi yang dikerjakan secara bersamaan pada saat itu dan baru dapat diselesaikan dua tahun kemudian.

Thesis doktoralnya pada tahun 1906 adalah dasar-dasar matematika mempertanyakan dasar-dasar matematika logikal dan bentuk utama dari aliran intuisionis. Brouwer banyak mementahkan pembuktian-pembuktikan “Prinsip tidak termaktub di tengah” (“Principle of the Excluded Middle” disingkat PEM) yang pada akhirnya dijabarkan dalam bentuk pernyataan benar atau salah. Tahun 1918, Brouwer menerbitkan teori himpunan (set theory), tahun 1919 menerbitkan teori pengukuran (measure theory) dan pada tahun 1923 menerbitkan fungsi-fungsi teori yang semuanya dikembangkan tanpa menggunakan PEM. Sejak tahun 1914 sampai 1928, Brouwer adalah anggota dewan redaksi Mathematische Annalen dan menjadi editor utama Compositio Mathematica yang terbit pertama kali pada tahun 1934.

 

Merombak teori himpunan Cantor

Brouwer memegang prinsip bahwa matematika adalah aktivitas tanpa-perlu-diutarakan (languageless) yang penting, dan bahasa itu sendiri hanya dapat memberi gambaran-gambaran tentang aktivitas matematikal setelah ada fakta. Hal ini membuat Brouwer tidak mengindahkan metode aksiomatik yang memegang peran utama dalam matematika. Membangun logika sebagai studi tentang pola dalam linguistik yang dibutuhkan sebagai jembatan bagi aktivitas matematikal, sehingga logika bergantung pada matematika (suatu studi tentang pola) dan bukan sebaliknya. Semua itu digunakan sebagai pertimbangan dalam memilah antara matematika dan metamatematika (istilah yang digunakan untuk ‘matematika tingkat kedua’), yang kelak akan didiskusikan dengan [David] Hilbert pada tahun 1909.

Berdasarkan pandangan ini, Brouwer bersiap merombak kembali teori himpunan Cantor. Ketika upaya ini mulai dilakukan dengan ‘membongkar’ kategori bilangan sekunder (bilangan ordinal tak terhingga/infinite) dan kategori bilangan ordinal infiniti yang lebih besar, tapi juga gagal seperti Cantor. Disadari bahwa metodenya tidak berlaku dan tidak dapat menyelesaikan kategori-kategori bilangan lebih tinggi, dan hanya meninggalkan bilangan ordinal terhingg (finite) dan tidak dapat diselesaikan atau terbuka (open-ended) bagi sekumpulan bilangan ordinal tak-terhingga/infinite.

Tetap konsisten dengan pandangan falsafatnya, Brouwer mencoba mengesampingan semua itu dan mau memahami matematika apa adanya. Tidak lama dia juga mau menerima prinsip dalam logika, prinsip tidak termaktub di tengah (PEM/Principle of the Excluded Middle),  namun dalam disertasinya dia tetap berpikir bahwa semua itu benar dan sahih namun tidak memberi manfaat, menginterpretasikan p v דp sebagai דp → ד p

 

Membalas kritik

Lewat tulisanannya pada tahun 1908, The Unreliability of the Logical Principles, Brouwer mengformulasikan, dalam istilah-istilah umum, kritiknya terhadap PEM: meskipun dalam bentuk sederhana  p v ד p, prinsip yang tidak akan memicu kontradiksi, dimana Brouwer memberikan contoh-contoh, diucapkan, tanpa ada alasan positif untuk menerima bahwa hal itu benar dan sahih.

Inovasi ini memberi intuisionisme memunyai ruang gerak lebih besar daripada matematika konstruktif aliran-aliran lainnya (termasuk di sini disertasi Brouwer) adalah pilihan-pilihan dalam melihat suatu deret. Banyak diketahui deret-deret bilangan tak-terhingga (atau obyek-obyek matematikal lain) dipilih mendahului yang lainnya oleh setiap matematikawan sesuai keinginan mereka masing-masing. Memilih suatu deret memberi mereka impresi awal secara intuisi menerima obyek yang ditulisnya pada buku yang terbit pada tahun 1914.; prinsip yang membuat secara matematika mudah dikerjakan, prinsip berkesinambungan, yang diformulasikan pada kuliah Brouwer pada tahun 1916.

Tujuan utama memilih deret merupakan rekonstruksi analisis; titik-titik dalam (bidang) kontinuum (bilangan-bilangan nyata) yang diidentifikasikan dengan memilih deret yang memenuhi persyaratan kondisi-kondisi tertentu. Memilih berbagai pilihan deret dapat dilakukan dengan menggunakan alat uang disebut dengan ‘spread’, yang memunyai fungsi mirip dengan analisis klasik Cantorian, dan awalnya Brouwer menggunakan istilah ‘gabung’ (‘himpunan’) untuk berbagai spread.

Guna mengukuhkan teori spread dan teori titik-titik ini yang digunakan sebagai dasar ini, termaktub dalam dua makalah yang diterbitkan pada tahun 1918/1919,  Founding Set Theory Independently of the Principle of the Excluded Middle.

 

Merombak pemikiran matematikawan lain

Apakah setiap bilangan nyata memunyai bilangan desimal (di belakang koma) yang terus makin panjang (ekspansi)? Jawaban dari Brouwer adalah tidak, namun guna alasan yang diberikan ditulis lewat makalah yang terbit pada tahun 1921. Di sini Brouwer menunjukkan bahwa seseorang dapat membangun suatu pilihan atas deret yang memenuhi kondisi Cauchy bahwa suatu perkembangan tertentu bergantung kepada problem yang akan diselesaikan. Tidak ada ekspansi desimal dapat dipilih sebelum suatu problem dapat diselesaikan; dalam pandangan Brouwer membatasi hal ini, yang dapat diartikan bahwa tidak ada keberadaan ekspansi desimal sampai suatu problem dapat diselesaikan. Termasuk di sini, seseorang dapat dapat membentuk bilangan nyata (misal: mengurangi deret-deret yang dipilih) yang tidak memunyai ekspansi desimal. Pada tahun 1923, kemali, dengan menggunakan deret-deret terpilih dan problem-problem terbuka, Brouwer mengembangkan teknik umum yang disebut dengan ‘Brouwerian counterexamples’ yang dipilah menjadi 2 kelompok: kuat dan lemah. 

 

-          Lemah karena pengalaman kita tidak dapat mengetahui bagaimana sesuatu itu dinyatakan benar ataupun salah. Dengan dasar deret bilangan rasional, a(n), yang didefinisikan sesuai dengan praduga (conjecture) Goldbach dapat ditulis sebagai:

 

a(n) =  -(1/2)ⁿ apabila untuk setiap j ≤ n, 2j+4 adalah jumlah dua bilangan prima

a(n) =  -(1/2)k apabila untuk setiap k ≤ n, 2k+4 bukan merupakan jumlah dua bilangan prima

 

-          Kuat, dimulai dengan R(x)= ‘x adalah bilangan rasional’ dan Ŕ adalah kontinuum intuisionistik, dalam konteks bilangan riil dipahami secara intuisi.  Awal sudah diketahui bahwa Ŕ adalah kontinuum sehingga tidak dapat dipilah, atau dalam notasi himpunan dapat ditulis A U (union) B = Ŕ dan A П (intersection) B = 0; apabila fungsi f: Ŕ →Ŕ didefinisikan sebagai:

 

f(x) = 0 jika x Є A

f(x) = 1 jika x Є B

 

 

Pengajar abadi

Menjadi pengajar tidak digaji di universitas Amsterdam sejak 1909, dimana dia adalah profesor bidang teori himpunan, teori fungsi dan aksiomatis sejak 1912 sampai 1951. [David] Hilbert pernah menawari Brouwer untuk menggantikan jabatannya di Gottingen namun akhirnya terjadi konflik.

Awal konflik ini dimulai pada tahun 1928-1929. Hilbert mengetahui bahwa umurnya tidak lama lagi, dan dia perlu merasa yakin bahwa setelah meninggalnya pandangan matematika Brouwer jangan terlampau jauh sehingga mendepak Brouwer dari posisi sebagai dewan editorial jurnal Mathematische Annalen. Einstein, yang ikut sebagai dalam dewan editorial menolak menggunakan cara itu, meskipun anggota dewan lain – agar tidak menyinggung perasaan Hilbert – menyatakan setuju dengan keinginan Hilbert. Hal ini memberi luka mendalam bagi Brouwer, namun tetap mendarmabaktikan dirinya sebagai pengajar. Pernah mengajar di Jenewa (1934), Cambridge (1945-1951) sebelum pensiun dari universitas Amsterdam (1951), mengajar di Afrika selatan (1952), di Amerika (1953) termasuk di Princeton, Chicago, MIT. Sempat ditawari mengajar di Vancouver (1959) namun batal karena pada tahun tersebut istrinya meninggal dan di Montana (1962). Tahun 1966, Brouwer meninggal di Blaricum, Belanda, karena kecelakaan lalu-lintas.